學習指要九年級數學人教版
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(2)求多項式$4x^{2}-16x + 3$的最小值.
答案：-13；解析：$4x^{2}-16x + 3=4(x^{2}-4x)+3=4[(x - 2)^{2}-4]+3=4(x - 2)^{2}-16 + 3=4(x - 2)^{2}-13$，因為$(x - 2)^{2}\geq0$，所以$4(x - 2)^{2}-13\geq - 13$，最小值為$-13$。
變式訓練 多項式$x^{2}-2x + 5$的最小值是(
B
)
A.1
B.4
C.6
D.10
答案：B；解析：$x^{2}-2x + 5=(x - 1)^{2}+4$，因為$(x - 1)^{2}\geq0$，所以最小值為4，選B。
課后鞏固 基礎過關 1.(2023 赤峰)用配方法解方程$x^{2}-4x - 1=0$時，配方后正確的是(
C
)
A.$(x + 2)^{2}=3$
B.$(x + 2)^{2}=17$
C.$(x - 2)^{2}=5$
D.$(x - 2)^{2}=17$
答案：C；解析：$x^{2}-4x - 1=0$，移項得$x^{2}-4x=1$，配方得$x^{2}-4x + 4=1 + 4$，即$(x - 2)^{2}=5$，選C。
2.(2025 涼州區一模)已知一元二次方程$x^{2}+6x + 1=0$配方后可變形為$(x + 3)^{2}=k$，則k的值為(
A
)
A.8
B.7
C.6
D.5
答案：A；解析：$x^{2}+6x + 1=0$，移項得$x^{2}+6x=-1$，配方得$x^{2}+6x + 9=-1 + 9$，即$(x + 3)^{2}=8$，所以$k=8$，選A。
3.填空: (1)$x^{2}+6x+$
9
$=(x+$______
3
$)^{2}$;
答案：9；3；解析：$(x + 3)^{2}=x^{2}+6x + 9$，故依次填9，3。
(2)$x^{2}-\frac{1}{4}x+$
$\frac{1}{64}$
$=(x-$______
$\frac{1}{8}$
$)^{2}$;
答案：$\frac{1}{64}$；$\frac{1}{8}$；解析：$(x-\frac{1}{8})^{2}=x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}$，故依次填$\frac{1}{64}$，$\frac{1}{8}$。
(3)$4x^{2}+4x+$
1
$=(2x+$______
1
$)^{2}$.
答案：1；1；解析：$(2x + 1)^{2}=4x^{2}+4x + 1$，故依次填1，1。
4.(?？碱})當$m=$
$\pm12$
時，$x^{2}+mx + 36$是一個完全平方式.
答案：$\pm12$；解析：因為$x^{2}+mx + 36$是完全平方式，所以$mx=\pm2× x×6$，即$m=\pm12$。
5.用配方法解下列方程: (1)$x^{2}-6x=1$;
答案：$x_{1}=3 + \sqrt{10}$，$x_{2}=3 - \sqrt{10}$；解析：$x^{2}-6x=1$，配方得$x^{2}-6x + 9=1 + 9$，即$(x - 3)^{2}=10$，開平方得$x - 3=\pm\sqrt{10}$，解得$x_{1}=3 + \sqrt{10}$，$x_{2}=3 - \sqrt{10}$。
(2)$x^{2}+4x - 12=0$;
答案：$x_{1}=2$，$x_{2}=-6$；解析：$x^{2}+4x - 12=0$，移項得$x^{2}+4x=12$，配方得$x^{2}+4x + 4=12 + 4$，即$(x + 2)^{2}=16$，開平方得$x + 2=\pm4$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-6$。
(3)$2x^{2}-4x - 1=0$;
答案：$x_{1}=1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$；解析：$2x^{2}-4x - 1=0$，移項得$2x^{2}-4x=1$，二次項系數化為1得$x^{2}-2x=\frac{1}{2}$，配方得$x^{2}-2x + 1=\frac{1}{2}+1$，即$(x - 1)^{2}=\frac{3}{2}$，開平方得$x - 1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得$x_{1}=1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_{2}=1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4)$x^{2}+4x - 9=2x - 11$.
答案：$x_{1}=x_{2}=-1$；解析：$x^{2}+4x - 9=2x - 11$，移項得$x^{2}+2x + 2=0$，$x^{2}+2x=-2$，配方得$x^{2}+2x + 1=-2 + 1$，即$(x + 1)^{2}=-1$，方程無實數解。
拓展培優 6.已知等腰$\triangle ABC$的三邊長分別為a，b，c，其中a，b滿足$a^{2}+b^{2}=6a + 12b - 45$，則$\triangle ABC$的周長是
15
.
答案：15；解析：$a^{2}+b^{2}=6a + 12b - 45$，移項得$a^{2}-6a + b^{2}-12b + 45=0$，配方得$(a - 3)^{2}+(b - 6)^{2}=0$，所以$a=3$，$b=6$。當a為腰長時，三邊長為3，3，6，因為$3 + 3=6$，不能構成三角形；當b為腰長時，三邊長為3，6，6，周長為$3 + 6 + 6=15$
7.（探究與實踐）我們可以用配方法求一個二次三項式的最大值或最小值，如求代數式$a^{2}-2a + 5$的最小值，方法如下：$a^{2}-2a + 5=a^{2}-2a + 1 + 4=(a - 1)^{2}+4$，由$(a - 1)^{2}\geq0$，得$(a - 1)^{2}+4\geq4$，故$a^{2}-2a + 5$的最小值為$4$。
(1)仿照上述方法求代數式$x^{2}+10x + 7$的最小值；
(2)代數式$-a^{2}-8a + 16$有最大值還是最小值？請用配方法求出這個最值。
答案：(1)∵$x^{2}+10x + 7=x^{2}+10x + 25-18=(x + 5)^{2}-18$，由$(x + 5)^{2}\geqslant0$，
得$(x + 5)^{2}-18\geqslant-18$；
∴代數式$x^{2}+10x + 7$的最小值是$-18$；
(2)$-a^{2}-8a + 16=-a^{2}-8a-32 + 32=-(a + 4)^{2}+32$，
∵$-(a + 4)^{2}\leqslant0$，
∴$-(a + 4)^{2}+32\leqslant32$，
∴代數式$-a^{2}-8a + 16$有最大值，最大值為$32$。
