伴你學單元達標測試卷九年級數學蘇科版
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8. 已知一元二次方程$x^{2}+x=5x + 6$的兩根為$x_{1}$與$x_{2}$，則$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$的值為
$-\frac {2}{3}$
.
答案：$-\frac {2}{3}$
解析：方程化為$x^{2}-4x - 6=0$，$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=-6$，$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$。
9. 若$m$的值使得方程$x^{2}+4x + m=(x + 2)^{2}-1$成立，則$m$的值是
3
.
答案：3
解析：$(x + 2)^{2}-1=x^{2}+4x + 4 - 1=x^{2}+4x + 3$，所以$m=3$。
10. 設$\alpha$、$\beta$是方程$x^{2}+2020x - 2=0$的兩根，則$(\alpha^{2}+2023\alpha - 1)(\beta^{2}+2023\beta - 1)=$
-6077
.
答案：因為α、β是方程$x^{2}+2020x - 2=0$的兩根，所以$\alpha^{2}=-2020\alpha + 2$，$\beta^{2}=-2020\beta + 2$。則$\alpha^{2}+2023\alpha - 1=-2020\alpha + 2 + 2023\alpha - 1=3\alpha + 1$，同理$\beta^{2}+2023\beta - 1=3\beta + 1$。所以$(\alpha^{2}+2023\alpha - 1)(\beta^{2}+2023\beta - 1)=(3\alpha + 1)(3\beta + 1)=9\alpha\beta + 3\alpha + 3\beta + 1$。由韋達定理得$\alpha + \beta=-2020$，$\alpha\beta=-2$，代入可得$9\times(-2)+3\times(-2020)+1=-18 - 6060 + 1=-6077$。
11. 如圖所示，吉林某景區(qū)計劃在一個長為$64\ m$，寬為$36\ m$的矩形空地上修建一個停車場，停車場中修建三塊相同的矩形停車區(qū)域，它們的面積之和為$1344\ m^{2}$，三塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相等的行車通道，問行車通道的寬度是多少$m$？設行車通道的寬度是$x\ m$，則可列方程為
$(64 - 2x)(36 - 2x)=1344$
.
答案：$(64 - 2x)(36 - 2x)=1344$
解析：設通道寬$x$，三塊矩形合并后長為$64 - 2x$，寬為$36 - 2x$，面積和為$(64 - 2x)(36 - 2x)=1344$。
12. 一個兩位數等于它的個位數的平方，且個位數字比十位數字大3，則這個兩位數為
25或36
.
答案：25或36
解析：設個位數字$x$，十位數字$x - 3$，$10(x - 3)+x=x^{2}$，$x^{2}-11x + 30=0$，解得$x=5$或$6$，兩位數為25或36。
13. 在實數范圍內定義一種運算“$*$”，其規(guī)則為$a*b=a^{2}-b^{2}$，根據這個規(guī)則，方程$(x + 2)*5=0$的解為
$x = 3$或$x=-7$
.
答案：$x = 3$或$x=-7$
解析：$(x + 2)^{2}-25=0$，$(x + 2)^{2}=25$，$x + 2=\pm5$，$x=3$或$-7$。
14. 若關于$x$的方程$(m - 1)x^{2}+x + 1=0$有實數根，則$m$的取值范圍是
$m\leqslant\frac {5}{4}$
.
答案：當$m - 1=0$，即$m=1$時，方程為$x + 1=0$，有實數根$x=-1$；當$m - 1\neq0$時，方程為一元二次方程，判別式$\Delta=1 - 4(m - 1)\geq0$，解得$m\leq\frac{5}{4}$。綜上，$m$的取值范圍是$m\leq\frac{5}{4}$。
15. 已知關于$x$的方程$a(x + m)^{2}+b=0(a$、$b$、$m$為常數，$a\neq0)$的解是$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$，那么方程$a(x + m + 2)^{2}+b=0$的解是
$x = 0$或$x=-3$
.
答案：$x = 0$或$x=-3$
解析：令$y=x + 2$，方程化為$a(y + m)^{2}+b=0$，解為$y=2$或$-1$，即$x + 2=2$或$-1$，$x=0$或$-3$。
16. 三角形兩邊的長分別是8和6，若第三邊的長是一元二次方程$x^{2}-16x + 60=0$的一個實數根，則該三角形的面積是
24或$8\sqrt{5}$
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答案：24或$8\sqrt{5}$
解析：方程解得$x=6$或$10$。當$x=6$時，三角形為等腰三角形，底8，高$\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$，面積$8\sqrt{5}$；當$x=10$時，直角三角形，面積$\frac{1}{2}×6×8=24$。
17. （每題4分，共16分）用適當方法解下列方程：
(1)$4(1 + x)^{2}=9$；
(2)$2x^{2}-4x + 1=0$；
(3)$3x^{2}+2x - 1=0$；
(4)$(2x + 1)^{2}=-3(2x + 1)$.
答案：(1)$x_{1}=\frac {1}{2}$，$x_{2}=-\frac {5}{2}$
解析：$(1 + x)^{2}=\frac{9}{4}$，$1 + x=\pm\frac{3}{2}$，$x=\frac{1}{2}$或$-\frac{5}{2}$。
(2)$x_{1}=1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：$x^{2}-2x=-\frac{1}{2}$，$(x - 1)^{2}=\frac{1}{2}$，$x=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)$x_{1}=\frac {1}{3}$，$x_{2}=-1$
解析：$(3x - 1)(x + 1)=0$，$x=\frac{1}{3}$或$-1$。
(4)$x_{1}=-\frac {1}{2}$，$x_{2}=-2$
解析：$(2x + 1)(2x + 1 + 3)=0$，$(2x + 1)(2x + 4)=0$，$x=-\frac{1}{2}$或$-2$。
