Question

【題目】，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，有下列結論：

（1）當直線與成角時，與成角；

（2）當直線與成角時，與成角；

（3）直線與所成角的最小值為；

（4）直線與所成角的最小值為；

其中正確的是______（填寫所有正確結論的編號）.

Answer 1

【答案】（1）（3）

【解析】

由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|＝1，|AB|，斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．

由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設圖中所示正方體邊長為1，

故|AC|＝1，|AB|，

斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，

B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，

則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，

直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，

設B點在運動過程中的坐標中的坐標B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），

∴AB′在運動過程中的向量為（cosθ，sinθ，﹣1），||，

設與所成夾角為α∈[0，]，

則cosα|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴（3）正確，（4）錯誤．

設與所成夾角為β∈[0，]，

cosβ|cosθ|，

當與夾角為60°時，即α，

|sinθ|，

∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，

∵β∈[0，]，∴β，此時與的夾角為60°，

∴（1）正確，（2）錯誤．

故答案為：（1）（3）．