Question

【題目】一個底面積為、足夠高的柱形容器內(nèi)裝有一定量的水（水的密度為）；一密度為（）的實心物塊掛在彈簧測力計下，物塊高為、底面積為。把物塊緩慢進入容器水中，當它剛好與容器底接觸時，物塊浸在水中的深度為，如圖所示，此時將彈簧測力計上方固定。現(xiàn)向容器中緩慢加水，直到彈簧測力計示數(shù)不再發(fā)生變化。已知在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長與受到的拉力成正比，彈簧受到的拉力時伸長。請你計算：

(1)圖中，彈簧測力計的示數(shù)；

(2)至少加水的體積。

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)對物體受力分析以及、分析出拉力的大小。

(2)根據(jù)算出浮力的變化量，再根據(jù)在彈性限度內(nèi)，彈簧的伸長與受到的拉力成正比，以及彈簧受到的拉力時伸長，得出和，最后得出加水的體積。

(1)由題知，物塊高為、底面積為，圖中物塊浸在水中的深度為，當物塊剛好與容器底接觸時，物塊受到重力、拉力及浮力的作用，此時不受容器的支持力，由力的平衡條件可得，此時彈簧測力計的示數(shù)

(2)因，則當物塊浸沒在水中靜止時，重力大于浮力，此時彈簧測力計仍有示數(shù)，物體剛浸沒時與圖中相比，則浮力的變化量

……①

由題知，在彈性限度內(nèi)彈簧的伸長與受到的拉力成正比，且彈簧受到的拉力時伸長；則有

所以；設物體剛浸沒時與圖中相比彈簧縮短的長度為，則拉力的變化量為

所以彈簧縮短的長度

……②

又因為向容器中緩慢加水，所以物體受力平衡，滿足，則

……③

所以由①②③可得，彈簧縮短的長度

……④

因為彈簧測力計示數(shù)不再發(fā)生變化時，物體剛好完全浸沒，此時加水的體積應為

……⑤

又由于浮力增大，拉力減小，彈簧縮短了，則物體向上移動的距離為，所以加水的體積又增大（相當于在物體下方加水的體積）

……⑥

所以由④⑤⑥可得，加水的總體積