Question

【題目】一個薄壁圓柱形容器放在水平桌面上，如圖1所示，容器中立放著一個均勻實心圓柱體A，現慢慢向容器中加水（已知水的密度為ρ水），加入的水對容器底部的壓強p與所加水的質量m的關系圖象如圖3所示，容器足夠高，在整個過程中無水溢出，A的底面始終與容器中的水面平行，當加入水的質量為m1時，圓柱體A露出水面的高度為h0 ， 如圖2所示．求：
（1）圓柱體的高度；
（2）圓柱體的密度；
（3）薄壁圓柱形容器的底面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖3可知，當加入水的質量為m1時，水對容器底部的壓強為p1，

由p=ρgh可得，此時水的深度：h1= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

由題知，此時圓柱體A露出水面的高度為h0，

則圓柱體的高度：hA=h1+h0= +h0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

答：圓柱體的高度為 +h0；

（2）解：根據圖3可知，加入水的質量大于m1時，水對容器底部的壓強增大得更緩慢一些，說明加入水的質量為m1時圓柱體剛好處于漂浮狀態，此后繼續加水，圓柱體緩慢上升；

圓柱體剛好漂浮時，由漂浮條件可得：F浮=GA，

結合阿基米德原理可得：ρ水gV排=ρAVAg，

則ρ水gSAh1=ρASAhAg，

所以ρA= ρ水﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③

將①②代入③可得：

ρA= ρ水= ρ水= ρ水；

答：圓柱體的密度為 ρ水；

（3）解：由圖3可知，加入水的質量為m1與m2時對應水的壓強分別為p1、p2，

則該過程中水的質量變化量為△m=m2﹣m1，水的壓強變化量為△p=p2﹣p1，

因圓柱體在該過程中處于漂浮狀態，由壓強定義式可得△p= ，

所以，圓柱形容器的底面積：

S= = = = ．

答：薄壁圓柱形容器的底面積為 ．

【解析】（1）當加入水的質量為m1時，圓柱體A露出水面的高度為h0 ， 由圖讀出此時水的壓強，利用p=ρgh求出水的深度，則可求出圓柱體的高度；（2）根據圖象可知，加入水的質量為m1后，水對容器底部的壓強增大得更緩慢一些，說明加入水的質量為m1時圓柱體剛好處于漂浮狀態，利用漂浮條件和阿基米德原理列出等式可求出圓柱體的密度；（3）由圖象可知，加入水的質量為m1與m2時對應水的壓強分別為p1、p2 ， 根據該過程中壓強的變化量、所加水的質量變化量，利用△p= = 求出容器的底面積．
【考點精析】掌握密度的計算是解答本題的根本，需要知道密度公式：ρ = m/v．