Question

【題目】如圖，已知點E，H在矩形ABCD的AD邊上，點F，G在BC邊上，將矩形ABCD沿EF，GH折疊，使點B和點C落在AD邊上同一點P處．折疊后，點A的對應點為點A'，點D的對應點為點D'，若∠FPG＝90°，A'E＝3，D'H＝1，則矩形ABCD的周長等于_____．

Answer 1

【答案】12+6

【解析】

設AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，由銳角三角函數可求x，由勾股定理可求PE，PH的長，即可求解．

解：∵四邊形ABC是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，設AB＝CD＝x，

由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∠C＝∠D'PG＝90°，∠B＝∠A'PF＝90°，

∵∠FPG＝90°，

∴∠FPG+∠A'PF＝180°，∠FPG+∠D'PG＝180°，

∴點A'，點P，點G共線，點D'，點P，點F共線，

∵A'E∥PF，

∴∠A'EP＝∠D'PH，

∴tan∠A'EP＝tan∠D'PH，

∴=.

∴x＝，

∴PA′＝AB＝＝PD′＝CD，

∴EP＝＝，

PH＝＝2，

∴AD＝2+6，

∴矩形ABCD的周長等于＝2×（+2+6）＝12+6，

故答案為：12+6．