Question

【題目】如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N．若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（ ）

A．a2 B．a2 C．a2 D．a2

Answer 1

【答案】D．

【解析】

試題分析：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．

解：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

又∵∠EPM=∠EQN=90°，

∴∠PEQ=90°，

∴∠PEM+∠MEQ=90°，

∵三角形FEG是直角三角形，

∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，

∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，

∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

，

∴△EPM≌△EQN（ASA）

∴S△EQN=S△EPM，

∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，

∵正方形ABCD的邊長為a，

∴AC=a，

∵EC=2AE，

∴EC=a，

∴EP=PC=a，

∴正方形PCQE的面積=a×a=a2，

∴四邊形EMCN的面積=a2，

故選：D．