Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點．點P從點D出發沿折線DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC﹣CA于點G．點P、Q同時出發，當點P繞行一周回到點D時停止運動，點Q也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）當點P在DE上，若S△PBQ＝，求t的值．

（2）當點P運動到折線EF﹣FC上，且點P又恰好落在射線QK上時，求t的值；

（3）連結PG，當PG∥AB時，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t1＝2，t2＝；（2）t1＝4；t2＝7；（3）t1＝；t2＝7．

【解析】

（1）由勾股定理和三角形中位線定理可求DE的長，由銳角三角函數可求PH的長，由三角形面積公式可求解；

（2）①當點P在EF上（≤t≤5時根據△PQE∽△BCA，根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出t的值；

②當點P在FC上（5≤t≤）時，PB＝PF+BF就可以得到；

（3）當PG∥AB時四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．

解：（1）如圖1，過點P作PH⊥AB于H，

∵∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，

∴BC＝＝＝40，

∵D、E、F分別是AC、AB、BC的中點，

∴DE＝BC＝20，DE∥BC，EF∥AC，

∴∠AED＝∠ABC，

∴sin∠AED＝sin∠ABC＝，

∴

∴PH＝（20﹣7t）

∴S△PBQ＝×4t×（20﹣7t）＝

∴t1＝2，t2＝；

（2）①當點P在EF上（≤t≤5）時，

如圖2，QB＝4t，DE+EP＝7t，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠A，且∠PQE＝∠ACB，

∴△PQE∽△BCA，

∴

∴

∴t＝4；

②當點P在FC上（5≤t≤）時，

如圖3，已知QB＝4t，從而PB＝＝＝5t，

由PF＝7t﹣35，BF＝20，得5t＝7t﹣35+20．

解得t＝7；

（3）PG∥AB可分為以下幾種情形：
當0＜t≤時，點P下行，點G上行，可知其中存在PG∥AB的時刻，如圖4；此后，點G繼續上行到點F時，t=4，而點P卻在下行到點E再沿EF上行，發現點P在EF上運動時不存在PG∥AB；當5≤t≤時，點P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于點P比點G先到達點C并繼續沿CD下行，所以在＜t＜8中存在PG∥AB的時刻，如圖5，當8≤t≤10時，點P，G均在CD上，不存在PG∥AB．

∴當0＜t≤時，點P下行，點G上行，可知其中存在PG∥AB的時刻，如圖4；過點P作PH⊥AB，

∵PG∥AB，PH∥GQ

∴四邊形PGQH是平行四邊形，且PH⊥AB，

∴四邊形PGQH是矩形，

∴PH＝GQ，且∠B＝∠AED，∠PHE＝∠GQB＝90°，

∴△PHE≌△GQB（AAS）

∴HE＝QB

∵cos∠AED＝cos∠ABC＝，

∴

∴HE＝（20﹣7t）

∴（20﹣7t）＝4t，

∴t＝；

當在＜t＜8中存在PG∥AB的時刻，如圖5，過點P作PH⊥AB，

∴四邊形PGHQ是矩形，

∴PH＝GQ

∵PH==（85﹣7t），GQ===3t，

∴（85﹣7t）＝3t

∴t＝7．