Question

【題目】（1）如圖1，等邊三角形ABC的邊長為4，兩頂點B、C分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上運動，顯然，當OA⊥BC于點D時，頂點A到原點O的距離最大，試求出此時線段OA的長．

（2）如圖2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，兩頂點B、C分別在x軸的正半制和y軸的正半軸上運動，求出頂點A到原點O的最大距離．

（3）如圖3，正六邊形ABCDEF的邊長為4，頂點B、C分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運動，直接寫出頂點E到原點O的距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）OA=2+2；（2）2+；（3）2+，4.

【解析】

（1）解直角三角形求出AD、OD即可；

（2）如圖2中，取BC的中點K，連接OK，AK，OA．因為OA≤AK＋OK，推出O、K、A共線時，OA的值最大；

（3）如圖3中，取BC的中點K，連接OK、EK、OE．因為OE≤OK＋EK，推出O、K、E共線時，OE的值最大，當點C與O重合時，OE的值最小.

（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=4，∠ACD=60°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，AD=ACsin60°=2，

∴OD=BC=2，

∴OA=2+2．

（2）如圖2中，取BC的中點K，連接OK，AK，OA．

在Rt△BOC中，OK=BC=2，

在Rt△ACK中，AK==，

∵OA≤AK+OK，

∴O、K、A共線時，OA的值最大，最大值為2+．

（3）如圖3中，取BC的中點K，連接OK、EK、OE．

則OK=BC=2，EC=4，∠ECK=90°，

在Rt△ECK中，EK==2，

∵OE≤OK+EK，

∴O、K、E共線時，OE的值最大，最大值為2+2．

當點C與O重合時，OE的值最小，最小值為4．