Question

【題目】如圖，過原點O的直線與雙曲線y＝交于上A（m，n）、B，過點A的直線交x軸正半軸于點D，交y軸負半軸于點E，交雙曲線y＝于點P．

（1）當m＝2時，求n的值；

（2）當OD：OE＝1：2，且m＝3時，求點P的坐標；

（3）若AD＝DE，連接BE，BP，求△PBE的面積．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）P（﹣2，﹣3）；（3）3.

【解析】

（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A點坐標，設OD＝a，則OE＝2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直線DE的解析式為y＝2x﹣2a，把點A（3，2）代入求出a，再聯立兩函數即可求出交點P；（3）由AD＝DE，點D在x軸坐標軸上，點E在y軸負半軸上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（m，0），求得直線DE的解析式為y＝x﹣n，又mn＝6，得y＝x﹣n，與y＝聯立得，即為P點坐標，由直線AB的解析式為y＝x與雙曲線聯立解得B（﹣m，﹣n），再根據S△PBE＝BE×|yE﹣yP|＝×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.

解：（1）∵點A（m，n）在雙曲線y＝上，

∴mn＝6，

∵m＝2，

∴n＝3；

（2）由（1）知，mn＝6，

∵m＝3，

∴n＝2，

∴A（3，2），

∵OD：OE＝1：2，

設OD＝a，則OE＝2a，

∵點D在x軸坐標軸上，點E在y軸負半軸上，

∴D（a，0），E（0，﹣2a），

∴直線DE的解析式為y＝2x﹣2a，

∵點A（3，2）在直線y＝2x﹣2a上，

∴6﹣2a＝2，

∴a＝2，

∴直線DE的解析式為y＝2x﹣4①，

∵雙曲線的解析式為y＝②，

聯立①②解得，（點A的橫縱坐標，所以舍去）或，

∴P（﹣2，﹣3）；

（3）∵AD＝DE，點D在x軸坐標軸上，點E在y軸負半軸上，A（m，n），

∴E（0，﹣n），D（m，0），

∴直線DE的解析式為y＝x﹣n，

∵mn＝6，

∴m＝，

∴y＝x﹣n③，

∵雙曲線的解析式為y＝④，

聯立③④解得，

∴（點A的橫縱坐標，所以舍去）或，

∴P（﹣2m，﹣2n），

∵A（m，n），

∴直線AB的解析式為y＝x⑤．

聯立④⑤解得，（點A的橫縱坐標，所以舍去）或

∴B（﹣m，﹣n），

∵E（0，﹣n），

∴BE∥x軸，

∴S△PBE＝BE×|yE﹣yP|＝×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝mn＝3．