Question

【題目】如圖1，P（m，n）在拋物線y=ax2-4ax（a＞0）上，E為拋物線的頂點．

（1）求點E的坐標（用含a的式子表示）；

（2）若點P在第一象限，線段OP交拋物線的對稱軸于點C，過拋物線的頂點E作x軸的平行線DE，過點P作x軸的垂線交DE于點D，連接CD，求證：CD∥OE；

（3）如圖2，當a=1，且將圖1中的拋物線向上平移3個單位，與x軸交于A、B兩點，平移后的拋物線的頂點為Q，P是其x軸上方的對稱軸上的動點，直線AP交拋物線于另一點D，分別過Q、D作x軸、y軸的平行線交于點E，且∠EPQ=2∠APQ，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) E（2，﹣4a）；(2)見解析;(3) P（2，+1）．

【解析】

（1）將原式提取公因式然后化簡即可解答

（2）設(shè)直線OE的解析式為：y＝k x，把E點代入可得直線OE的解析式為：y＝﹣2ax，由P（m，n）得直線OP的解析式為：y＝，得到C（2，），然后設(shè)直線CD的解析式為：y＝kx+b，得到：k＝﹣2a，即可解答

（3）當a＝1時，拋物線解析式為：y＝x2﹣4x，向上平移3個單位得新的拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，然后設(shè)P（2，t），可得AP的解析式為：y＝tx﹣t，D（3+t，t2+2t），Q（2，﹣1），E（3+t，﹣1），再設(shè)PE交x軸于F，即可解答

解：（1）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x+4﹣4）＝a（x﹣2）2﹣4a，

∴E（2，﹣4a）；

（2）設(shè)直線OE的解析式為：y＝kx，

把E（2，﹣4a）代入得：2k＝﹣4a，

k＝﹣2a，

∴直線OE的解析式為：y＝﹣2ax，

由P（m，n）得直線OP的解析式為：y＝ ，

∴當x＝2時，y＝ ，即C（2，），

∵D（m，﹣4a），

設(shè)直線CD的解析式為：y＝kx+b，

將點D和C的坐標代入得： （n＝am2﹣4am），

解得：k＝﹣2a，

根據(jù)兩直線系數(shù)相等，

∴OE∥CD；

（3）如圖2，當a＝1時，拋物線解析式為：y＝x2﹣4x，

向上平移3個單位得新的拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴Q（2，﹣1），A（1，0），B（3，0），

設(shè)P（2，t），

可得AP的解析式為：y＝tx﹣t，

聯(lián)立方程組為： ，解得： ， ，

∴D（3+t，t2+2t），

∵Q（2，﹣1），

∴E（3+t，﹣1），

∴PQ＝QE＝t+1，

∴∠EPQ＝45°，

∵∠EPQ＝2∠APQ，

∴∠APQ＝22.5°，

設(shè)PE交x軸于F，

∵∠DEP＝45°，

∴ME＝FM＝1，

∴∠FPA＝∠PAF＝67.5°，

∴PF＝AF＝t+1，

∵FP＝ t，

∴ t＝t+1，

t＝ ＝ +1，

∴P（2， +1）．