Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，BD是∠ABC的角平分線。

（1）求△ABC的面積；

（2）求△ABC的角平分線BD的長；

（3）若點E是線段AB上的一個動點，從點B以每秒2cm的速度向A運動，幾秒種后△EAD是直角三角形？（此小題可直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）24cm2 （2）cm （3）3秒或秒；

【解析】

（1）由勾股定理逆定理可證△ABC是直角三角形，即而可求面積.

（2）過D作DM⊥AB于點M，由角平分線性質可得CD=DM，又BD為公共邊，可證Rt△BCD≌Rt△BMD，根據對應邊相等得AM=4cm，DM=DC；再利用勾股定理列方程求出CD=3cm，在Rt△BCD，再次由勾股定理直接求出BD的長.

（3）若△EAD為直角三角形，則必有一個內角為直角，分別令E、D為直角頂點分類討論即可.

解：（1）∵AB=10cm，BC=6cm，AC=8cm，

則 ，即

∴△ABC是直角三角形.

∴△ABC的面積=×6×8=24cm2，

（2）過D作DM⊥AB于點M.

BD為∠ABC的角平分線，DM⊥AB，

∴CD=DM，
在Rt△BCD和Rt△BMD中，

,

∴Rt△BCD≌Rt△BMD（HL），
∴BM=BC=6cm，
∴AM=AB-BM=10-6=4cm；DM=DC,

設CD=DM=x cm，則AD=(8-x) cm，
在Rt△ADM中，AM2+DM2=AD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
所以，CD=DM=3cm，

在Rt△BCD中，

BD= = cm.

(3)如圖，當△EAD為直角三角形時，

由（2）知BE2=6cm, 6÷2=3（秒）；

∵E1D⊥CA,

∴BC∥DE1,

∴ ,

又,

∴,

∴DE1= BE1 ,

設DE1= BE1=a，

在Rt△ADE1中，AD2+DE12=AE12 ,

即52+x2=（10-x）2，
解得x= ,

∴BE1=cm , ÷2=（秒）；

所以，3秒或秒后△EAD是直角三角形