Question

【題目】（提出問題）如圖1，小東將一張AD為12，寬AB為4的長方形紙片按如下方式進行折疊：在紙片的一邊BC上分別取點P、Q，使得BP=CQ，連結AP、DQ，將△ABP、△DCQ分別沿AP、DQ折疊得△APM，△DQN，連結MN．小東發現線段MN的位置和長度隨著點P、Q的位置發生改變．

（規律探索）

（1）請在圖1中過點M，N分別畫ME⊥BC于點E，NF⊥BC于點F．

求證：①ME=NF；②MN∥BC．

（解決問題）

（2）如圖1，若BP=3，求線段MN的長；

（3）如圖2，當點P與點Q重合時，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明詳見解析；②證明詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）①先按照要求做圖，證明線段相等，通常證明所在的三角形全等，所以證明ME=NF，要證明△MEP≌△NPQ，先證明△ABP≌△DCQ，則∠APB=∠DQG，然后證明△MEP≌△NPQ（AAS）即可證得結論；②只要證出MN∥EF即可，由ME∥NF，ME=NF得出四邊形EFMN是平行四邊形，平行四邊形的對邊平行得出結論；（2）做輔助線，延長EM、FN交AD于點G、H．證明△EMP∽△MAG，根據相似三角形的對應邊的比相等，以及矩形的性質即可求解；（3）設PM、PN分別交AD于點E、F，利用勾股定理求出EF長，然后證明△PEF∽△PMN，根據相似三角形的對應邊成比例即可求解．

試題解析：（1）①先按照要求做圖，如圖1：證明線段相等，通常證明所在的三角形全等，要證明ME=NF，先證明△MEP≌△NPQ，已知條件不夠，所以得證明△ABP≌△DCQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD．又∵BP=CQ（已知），∴△ABP≌△DCQ（SAS），∴∠APB=∠DQG．∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣2∠DQC=∠NQF．∴△MEP≌△NPQ（AAS），∴ME=NF；②∵ME與NF都垂直于BC，∴ME∥NF，∵△MEP≌△NPQ，∴ME=NF，∴四邊形EFMN是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∴MN∥BC；

（2）延長EM、FN交AD于點G、H．∵AB=4，BP=3，∴AM=4，PM=3．∵AD∥BC，∴EM⊥AD．∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，∴∠EMP=∠MAG．∴△EMP∽△MAG．∴，設AG=4a，則EM=×AG=3a,∵四邊形ABEG是矩形，∴BE=4a,∵BP=3,∴EP=4a-3,又∵EP=MG=（4-ME）=(4-3a)=3-a，∴3-a=4a-3，解得：a=，∴AG=,同理DH=．∴MN=GH=12-×2=；（3）設PM、PN分別交AD于點E、F．∵AD∥BC和折疊角相等，∴∠EPA=∠APB=∠PAE，∴EA=EP．設EA=EP=x，則EM=6-x,AM=AB=4，在Rt△AME中，42+（6﹣x）2=x2，解得：x=．∴EA=EP=DF=,∴EF=12﹣2×=．∵EF∥MN(已證），∴△PEF∽△PMN．∴，即，解得：MN=．