Question

【題目】問題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F．請按圖示數據填空：△EFC的面積__________，△ADE的面積______________．

探究發現（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE與BC間的距離為．請證明．

拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為3、7、5，試利用（2）中的結論求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1），，（2）（3）18

【解析】試題（1）△EFC的面積利用底×高的一半計算；△ADE的面積，可以先過點A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質可求AG，再利用三角形的面積公式計算即可；

（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四邊形DBFE是平行四邊形，同時，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，從而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得S1：S2=n2：m2，由于S1=nh，那么可求S2，從而易求4S1S2，又S=mh，容易證出結論；

（3）過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，容易證出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面積等于8，再利用（2）中的結論，可求DBHG的面積，從而可求△ABC的面積．

試題解析：（1）S1=×6×3=9，

過A作AH⊥BC，交DE于G，

∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四邊形DEFB是平行四邊形，

∴DE=BF=2，

∵DE∥BC，

∴AG⊥DE，△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

解得：AG=1，

∴S2=×DE×AG==1，

（2）∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四邊形DBFE為平行四邊形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，

∴△ADE∽△EFC，

∴，

∵S1=nh，

∴S2=×S1=，

∴4S1S2=4×nh×=（mh）2，

而S=mh，

∴S2=4S1S2；

（3）過點作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，

∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，

∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF，

∴BH=EF，

∴BE=HF，

在△DBE和△GHF中，

∴△DBE≌△GHF（SAS），

∴△GHC的面積為7+5=12，

由（2）得，平行四邊形DBHG的面積S為=12，

∴△ABC的面積為3+12+12=27．