Question

7．已知，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，點D在BC上，且BD=DC，∠BAC=x°，∠EDF=y°．
（1）求y關于x的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）當x=60°時，求y的值，并判斷△DEF的形狀；
（3）若△DEF為等腰直角三角形，求x的值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進行討論：①當∠A為銳角時，如圖1所示；②當∠A為鈍角時，如圖2所示，分別根據角的和差關系求得y關于x的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍即可；
（2）當x=60°時，由（1）可得，y=180°-2×60°=60°，得出∠EDF=60°，再根據Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC，Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC，可得DE=DF，據此判定△DEF的形狀為等邊三角形；
（3）分兩種情況進行討論：①當∠A為銳角時，如圖1所示；②當∠A為鈍角時，如圖2所示，分別根據△DEF為等腰直角三角形，且DE=DF，得出∠EDF為直角，即y=90，分別運用（1）中的函數解析式即可求得x的值．

解答 解：（1）①當∠A為銳角時，如圖1所示，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BD=DC，
∴Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC=CD，
Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC=BD，
∴∠BDE=2∠DCE，∠CDF=2∠DBF，
又∵∠BDE+∠CDF-∠EDF=180°，
∴2∠DCE+2∠DBF-∠EDF=180°，
即2（∠DCE+∠DBF）-∠EDF=180°，
∴2（180°-∠A）-∠EDF=180°，
又∵∠BAC=x，∠EDF=y，
∴2（180-x）-y=180，
∴y=2（180-x）-180，
即y=180-2x（0＜x＜90）；
②當∠A為鈍角時，如圖2所示，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BD=DC，
∴Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC=CD，
Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC=BD，
∴∠BDE=2∠DCE，∠CDF=2∠DBF，
又∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，
∴2∠DCE+2∠DBF+∠EDF=180°，
即2（∠DCE+∠DBF）+∠EDF=180°，
∴2（180°-∠A）+∠EDF=180°，
又∵∠BAC=x，∠EDF=y，
∴2（180-x）+y=180，
∴y=180-2（180-x），
即y=2x-180（90＜x＜180）；
綜上所述，y關于x的函數表達式為y=$\left\{\begin{array}{l}{180-2x（0＜x＜90）}\\{2x-180（90＜x＜180）}\end{array}\right.$；

（2）當x=60°時，由（1）可得，y=180°-2×60°=60°，
即∠EDF=60°，
又∵Rt△BCE中，DE=$\frac{1}{2}$BC，
Rt△BCF中，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=DF，
∴△DEF的形狀為等邊三角形；

（3）①如圖1，∵△DEF為等腰直角三角形，且DE=DF，
∴∠EDF為直角，
即y=90，
此時，90=180-2x，
解得x=45，
故x的值為45；
②如圖2，∵△DEF為等腰直角三角形，且DE=DF，
∴∠EDF為直角，
即y=90，
此時，90=2x-180，
解得x=135，
故x的值為135；
綜上所述，若△DEF為等腰直角三角形，x的值為45或135．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質以及等邊三角形的判定的綜合應用，解決問題的關鍵是畫出相應的圖形，運用分類討論思想，根據角的和差關系進行求解．