Question

（2013年浙江義烏8分）已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，PD交⊙O于點C，D，PE是⊙O的切線，E為切點，連結AE，交CD于點F．

（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長；

（2）證明：PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=，求EF的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）連接OD，

∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，

∴OB=OA=4，BC=BD=CD。

∴在Rt△OBD中，。

∴CD=2BD=8。

（2）證明：∵PE是⊙O的切線，∴∠PEO=90°。

∴∠PEF=90°－∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°－∠A。

∵OE=OA，∴∠A=∠AEO。∴∠PEF=∠PFE。∴PE=PF。

（3）過點P作PG⊥EF于點G，

∴∠PGF=∠ABF=90°。

∵∠PFG=∠AFB，∴∠FPG=∠A。

∴FG=PF•sinA=13×=5。

∵PE=PF，∴EF=2FG=10。

【解析】（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長，又由勾股定理，可求得BD的長，然后由垂徑定理，求得CD的長。

（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據等角對等邊的性質，可得PE=PF。

（3）首先過點P作PG⊥EF于點G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PF•sinA=13×=5，又由等腰三角形的性質，求得答案。

考點：切線的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，等腰三角形的性質。