Question

【題目】如圖，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，連接OA，交⊙O于點D，過D點作⊙O的切線交AC于點E，連接B、D并延長交AC于點F．則下列結論錯誤的是（　　）

A. △ADE∽△ACO B. △AOC∽△BFC

C. △DEF∽△DOC D. CD2=DFDB

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據相似三角形的判定定理，對各選項的三角形進行分析證明，然后利用排除法求解．

解：A、∵DE是⊙O的切線，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠DAE=∠CAO，
∴△ADE∽△ACO；
故本選項正確；
B、假設△AOC∽△BFC，
則有∠OAC=∠FBC，
∵∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，
∴AC是⊙O的切線，
∴∠ACD=∠FBC，
∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC,

∴∠ODC=∠COD，
∴OC=CD，
又∵OD=OC，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等邊三角形，∠AOC=60°，

∴AC=OC①，
而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，
∴AC=2OC②，
∴假設與題目條件相矛盾，
故假設不成立，所以△AOC與△BFC不相似；
故本選項錯誤；
C、∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BFC=90°，
∴BC是⊙O的直徑，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠BFC，
∵DE是⊙O的切線，AC是⊙O的切線，
∴∠CDE=∠CED=∠CBD，
又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，
∠COD=2∠CBD，
∴∠AED=∠COD，

在△DEF∽△DOC中，

,

∴△DEF∽△DOC，
故本選項正確；
D、∵BC為⊙O的直徑，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥BF，
∵∠ACB=90°，
∴CD2=DFDB，
故本選項正確．
故選：B．