Question

【題目】如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角項點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的下方.

如圖2,將圖1中的三角板繞點逆時針旋轉，使邊在的內部，且恰好平分.此時__ 度;

如圖3,繼續將圖2中的三角板繞點按逆時針方向旋轉，使得在的內部.試探究與之間滿足什么等量關系，并說明理由;

將圖1中的三角板繞點按每秒的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，若第秒時，三條射線恰好構成相等的角，則的值為__ (直接寫出結果).

Answer 1

【答案】（1）25°；（2）∠AOM-∠NOC=40°，理由詳見解析；（3）t的值為13，34，49或64.

【解析】

（1）由平角的定義先求出∠BOC的度數，然后由角平分線的定義求出∠BOM的度數，再根據∠BON=∠MON-∠BOM可以求出結果；

（2）根據題意得出∠AOM+∠AON=90°①，∠AON+∠NOC=50°②，利用①-②可以得出結果；

（3）根據已知條件可知，在第t秒時，三角板轉過的角度為5°t，然后按照OA、OC、ON三條射線構成相等的角分四種情況討論，即可求出t的值.

解：（1）∵∠AOC=50°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，

∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠BOC=55°，

∴∠BON=90°-∠BOM=25°.

故答案為：25；

（2）∠AOM與∠NOC之間滿足等量關系為：∠AOM-∠NOC=40°，

理由如下：∵∠MON=90°，∠AOC=50°，

∴∠AOM+∠AON=90°①，∠AON+∠NOC=50°②，

∴①-②得，∠AOM-∠NOC=40°.

（3）∵三角板繞點O按每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉，
∴第t秒時，三角板轉過的角度為5°t，

當三角板轉到如圖①所示時，∠AON=∠CON.
∵∠AON=90°+5°t，∠CON=∠BOC+∠BON=130°+90°-5°t=220°-5°t，
∴90°+5°t=220°-5°t，
即t=13；
當三角板轉到如圖②所示時，∠AOC=∠CON=50°，
∵∠CON=∠BOC-∠BON=130°-（5°t-90°）=220°-5°t，
∴220°-5°t=50°，
即t=34；
當三角板轉到如圖③所示時，∠AON=∠CON=∠AOC=25°，
∵∠CON=∠BON-∠BOC=（5°t-90°）-130°=5°t-220°，
∴5°t-220°=25°，
即t=49；
當三角板轉到如圖④所示時，∠AON=∠AOC=50°，
∵∠AON=5°t-180°-90°=5°t-270°，
∴5°t-270°=50°，
即t=64．

故t的值為13，34，49或64.