Question

【題目】如圖,在中，是的直徑,點是上一點，點是弧的中點，弦于點，過點的切線交的延長線于點，連接,分別交于點，連接．給出下列結論:①；②；③點是的外心；④．其中正確的是( )

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由于與不一定相等，根據圓周角定理可判斷①；
②連接OD，利用切線的性質，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，可判斷②；
③先由垂徑定理得到A為的中點，再由C為的中點，得到，根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，可判斷③；
④正確．證明△APF∽△ABD，可得AP×AD=AF×AB，證明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF×AB，證明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ×CB，由此即可判斷④；

解：①錯誤，假設，則，

，

，顯然不可能，故①錯誤．

②正確．連接．

是切線，

，

，

，

，

，，

，

，故②正確．

③正確．，

，

，

，

，

，

是直徑，

，

，，

，

，

，

點是的外心．故③正確．

④正確．連接．

，，

，

，

，

，，

，

可得，

，，

，可得，

．故④正確，

故選：．