Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點D，E是位于AB兩側的半圓AB上的動點，射線DC切⊙O于點D．連接DE，AE，DE與AB交于點P，F是射線DC上一動點，連接FP，FB，且∠AED＝45°．

（1）求證：CD∥AB；

（2）填空：

①若DF＝AP，當∠DAE＝　 　時，四邊形ADFP是菱形；

②若BF⊥DF，當∠DAE＝　 　時，四邊形BFDP是正方形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①67.5°；②90°．

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質得到∠ODF＝90°，再由已知得到∠AOD＝2∠AED＝90°，從而得到∠ODF＝∠AOD，進而證明CD∥AB；

（2）①根據菱形的性質進行角度運算即可得出；

②根據正方形的性質運算角度即可得出．

解：（1）如圖，連接OD，

∵射線DC切⊙O于點D，

∴OD⊥CD，

∵∠AED＝45°，

∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，

∴CD∥AB．

（2）①連接AF與DP交于點G，如圖所示，

∵四邊形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，

∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，

∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，

∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PAG＝22.5°，

∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，

故答案為：67.5°；

②∵四邊形BFDP是正方形，

∴BF＝FD＝DP＝PB，

∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，

∴此時點P與點O重合，

∴此時DE是直徑，

∴∠EAD＝90°，

故答案為：90°．