Question

【題目】已知反比例函數(shù)y=（m為常數(shù)）的圖象在一、三象限．

（1）求m的取值范圍；

（2）如圖，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過ABOD的頂點(diǎn)D，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，3），（﹣2，0）．

①求出函數(shù)解析式；

②設(shè)點(diǎn)P是該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若OD=OP，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；若以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 個(gè)．

Answer 1

【答案】（1）m＜；

（2）①反比例函數(shù)解析式為y=；

②P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；4

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得1﹣2m＞0，然后解不等式得到m的取值范圍；

（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥OB，AD=OB=2，易得D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得1﹣2m=6，則反比例函數(shù)解析式為y=；

②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱可得點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P滿足OP=OD，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；再根據(jù)反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得點(diǎn)D（2，3）關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)P滿足OP=OD，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），易得點(diǎn)（3，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P也滿足OP=OD，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）；由于以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，所以以D點(diǎn)為頂點(diǎn)可畫出點(diǎn)P1，P2；以O(shè)點(diǎn)頂點(diǎn)可畫出點(diǎn)P3，P4，如圖．

試題解析：（1）根據(jù)題意得1﹣2m＞0，

解得m＜；

（2）①∵四邊形ABOD為平行四邊形，

∴AD∥OB，AD=OB=2，

又∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

∴1﹣2m=2×3=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y=；

②∵反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則OD=OP，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），

∵反比例函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)D（2，3）關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)滿足OP=OD，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），

點(diǎn)（3，2）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也滿足OP=OD，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；

由于以D、O、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則以D點(diǎn)為圓心，DO為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P1，P2，則點(diǎn)P1，P2滿足條件；以O(shè)點(diǎn)為圓心，OD為半徑畫弧交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P3，P4，則點(diǎn)P3，P4也滿足條件，如圖，作線段OD的垂直平分線，與反比例函數(shù)的圖象無交點(diǎn)．