Question

【題目】如圖，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，點A的橫縱坐標之比為3：4，反比例函數y＝（k＞0）在第一象限內的圖象經過點A，且與BC交于點F．

（1）若OA＝10，求反比例函數解析式；

（2）若點F為BC的中點，且△AOF的面積S＝12，求OA的長和點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x＞0）（2）OA=，點C的坐標（，）．

【解析】

（1）過點A作AH⊥OB于H，根據已知條件得到sin∠AOB＝，OA＝10，求得AH＝8，OH＝6，于是得到結論；

（2）設OA＝a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，過點C作CN⊥x軸于點N，根據平行四邊形的性質得到OH＝BN，根據已知條件得到AH＝a，OH＝a，于是得到S△AOH＝×aa＝a2，求得S△OBF＝6，得到S△BMF＝BMFM＝×a× a＝ a2，根據點A，F都在y＝ 的圖象上，得到S△AOH＝S△FOM＝ k，列方程即可得到結論．

解：（1）過點A作AH⊥OB于H，

∵點A的橫縱坐標之比為3：4，

∴sin∠AOB＝，OA＝10，

∴AH＝8，OH＝6，

∴A點坐標為（68），根據題意得：

8＝，可得：k＝48，

∴反比例函數解析式：y＝（x＞0）；

（2）設OA＝a（a＞0），過點F作FM⊥x軸于M，過點C作CN⊥x軸于點N，

由平行四邊形性質可證得OH＝BN，

∵點A的橫縱坐標之比為3：4，

∴sin∠AOB＝，

∴AH＝a，OH＝a，

∴S△AOH＝×aa＝a2，

∵S△AOF＝12，

∴S平行四邊形AOBC＝24，

∵F為BC的中點，

∴S△OBF＝6，

∵BF＝a，∠FBM＝∠AOB，

∴FM＝a，BM＝a，

∴S△BMF＝BMFM＝×a× a＝ a2，

∴S△FOM＝S△OBF+S△BMF＝6+a2，

∵點A，F都在y＝ 的圖象上，

∴S△AOH＝S△FOM＝k，

∴ a2＝6+a2，

∴a＝，

∴OA＝，

∴AH＝，OH＝2，

∵S平行四邊形AOBC＝OBAH＝24，

∴OB＝AC＝3，

∴ON＝OB+OH＝5，

∴C（5，）．