Question

【題目】閱讀理解

在⊙I中，弦AF與DE相交于點Q，則AQQF=DQQE．你可以利用這一性質解決問題．

問題解決

如圖，在平面直角坐標系中，等邊△ABC的邊BC在x軸上，高AO在y軸的正半軸上，點Q（0，1）是等邊△ABC的重心，過點Q的直線分別交邊AB、AC于點D、E，直線DE繞點Q轉動，設∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圓⊙I交y軸正半軸于點F，連接EF．

（1）填空：AB= ；

（2）在直線DE繞點Q轉動的過程中，猜想：與的值是否相等？試說明理由．

（3）①求證：AQ2=ADAE﹣DQQE；

②記AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均為正數），請直接寫出mn的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）相等（3）①見詳解；②≤mn≤2.

【解析】

（1）如圖1，連接BQ，由點Q（0，1）是等邊△ABC的重心，得到AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，根據等邊三角形的性質即可得到結論；
（2）根據等邊三角形的性質得到∠DAF=∠FAE，根據相似三角形的性質得到=，根據相似三角形的性質得到，等量代換即可得到結論；
（3）①由相似三角形的性質得到，根據線段的和差得到ADAE=（AQ+QF）AQ，化簡即可得到結論；②如圖2，過點E作ET⊥AB于T，解直角三角形得到ET=AEsin60°=b，求得S△ADE=ab，當α=90°時，此時DE∥x軸，S△ADE最小，根據相似三角形的性質得到，得到，當α=120°時，此時DE經過點C，即點E和點C重合，S△ADE最大，根據三角形的面積得到≤ab≤6，代入化簡即可得到結論．

（1）如圖1，連接BQ，∵點Q（0，1）是等邊△ABC的重心，

∴AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，∴AO=3，∴AB=sin60°AO=2；

故答案為：2；

（2）相等，

理由：∵AO為等邊△ABC的高，∴AO平分∠BAC，∴∠DAF=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，

∴△ADQ∽△AFE，∴=，∵∠QEF=∠OAE，∠AFE=∠QFE，

∴△AFE∽△QEF，∴，∴=；

（3）①∵△ADQ∽△AFE，∴=，∴ADAE=AFAQ，即ADAE=（AQ+QF）AQ，

∴ADAE=AQ2+AQQF，∵AQQF=DQQE，∴ADAE=AQ2+DQQE，即AQ2=ADAE﹣DQQE；

②如圖2，過點E作ET⊥AB于T，在Rt△AET中，∠EAT=60°，ET=AEsin60°=b，S△ADE=ADET=ADAE=ADAE=ab，當α=90°時，此時DE∥x軸，S△ADE最小，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，又∵S△ABC=×（2）2=3，∴，

當α=120°時，此時DE經過點C，即點E和點C重合，S△ADE最大，

∴S△ADE=S△ABC=×3=，∴≤ab≤，

∴≤ab≤，，由①證得：AQ/span>2=ADAE﹣DQQE，即22=ab﹣mn，

∴ab=mn+4，∴≤mn+4≤6，即≤mn≤2．