Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點N，連接OM，ON，MN．下列四個結論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN2+CM2＝MN2；其中正確的結論是_____．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①易證△CNB≌△DMC（ASA），①正確;②由△CNB≌△DMC得CM＝BN，證得△CON≌△DOM（SAS），②正確;③證得△MON是等腰直角三角形，可得△OMN∽△OAD，③不正確;④由勾股定理得在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，由 AB＝BC，CM＝BN，推出BM＝AN，可得AN2+CM2＝MN2，④正確

∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，

∴∠BCN+∠DCN＝90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN＝90°，

∴∠BCN＝∠CDM，

在△CNB和△DMC中，，

∴△CNB≌△DMC（ASA），①正確；

∴CM＝BN，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB＝OD，

在△OCM和△OBN中，，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，

∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，

在△CON和△DOM中，，

∴△CON≌△DOM（SAS），②正確；

∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，

∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，③不正確；

∵AB＝BC，CM＝BN，

∴BM＝AN，

,④正確；

故答案為：①②④．