Question

【題目】綜合與探究

如圖1，平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點，.雙曲線與直線交于點.

（1）求的值；

（2）在圖1中以線段為邊作矩形，使頂點在第一象限、頂點在軸負半軸上.線段交軸于點.直接寫出點，，的坐標；

（3）如圖2，在（2）題的條件下，已知點是雙曲線上的一個動點，過點作軸的平行線分別交線段，于點，.

請從下列，兩組題中任選一組題作答.我選擇組題.

A.①當四邊形的面積為時，求點的坐標；

②在①的條件下，連接，.坐標平面內是否存在點（不與點重合），使以，，為頂點的三角形與全等?若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

B.①當四邊形成為菱形時，求點的坐標；

②在①的條件下，連接，.坐標平面內是否存在點（不與點重合），使以，，為頂點的三角形與全等?若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）A.①，②，，；B.①，②，，.

【解析】

（1）根據點在的圖象上，求得的值，從而求得的值；

（2）點在直線上易求得點的坐標，證得可求得點的坐標，證得即可求得點的坐標；

（3）A.①作軸，利用平行四邊的面積公式先求得點的縱坐標，從而求得答案；

②分類討論，畫出相關圖形，構造全等三角形結合軸對稱的概念即可求解；

B.①作軸，根據菱形的性質結合相似三角形的性質先求得點的縱坐標，從而求得答案；

②分類討論，畫出相關圖形，構造全等三角形結合軸對稱的概念即可求解；

（1）在的圖象上，

，

，

∴點的坐標是 ，

在的圖象上，

∴，

∴；

（2）對于一次函數，

當時，，

∴點的坐標是 ，

當時，，

∴點的坐標是 ，

∴，，

在矩形中，

，，

∴，

∴，

，

，

，

∴點的坐標是 ，

矩形ABCD中，AB∥DG，

∴

∴點的坐標是 ，

故點，，的坐標分別是： ， ， ；

（3）A：①過點作軸交軸于點，

軸，，

四邊形為平行四邊形，

的縱坐標為，

∴，

∴，

∴點的坐標是 ，

②當時，如圖1，點與點關于軸對稱，由軸對稱的性質可得：點的坐標是；

當時，如圖2，過點作⊥軸于，直線交 軸于，

∵，

∴，，

∴，

∴，，

∵點的坐標是 ，點的坐標是 ，

∴，，，

點的坐標是 ，

當時，如圖3，點與點關于軸對稱，由軸對稱的性質可得：點的坐標是；

B：①過點作軸于點

， ， ，

∴，，，

，

四邊形為菱形，，

∵軸，

∴ME∥BO，

∴ ，

，

，

，

的縱坐標為，

∴，

∴，

∴點的坐標是；

②當時，如圖4，點與點關于軸對稱，由軸對稱的性質可得：點的坐標是；

當時，如圖5，過點作⊥軸于，直線交 軸于，

∵，

∴，，

∴，

∴，，

∵點的坐標是 ，點的坐標是 ， ，

∴，，，

點的坐標是 ，

當時，如圖6，點與點關于軸對稱，由軸對稱的性質可得：點的坐標是；