Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點P在線段BA的延長線上，作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，點D關于直線AB的對稱點為E，連接PE并延長PE到點F，使EF=AC，連接CF．

（1）依題意補全圖1；

（2）求證：AD=CF；

（3）若AC=2，點Q在直線AB上，寫出一個AQ的值，使得對于任意的點P總有QD=QF，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AQ=，證明見解析．

【解析】

（1）依照題意，補全圖形即可；

（2）通過證明四邊形DCFP是矩形，可得PD=CF，由等腰直角三角形的性質可得AD=PD=CF；

（3）通過證明△DAQ≌△FCQ，可得QD=QF．

（1）補全圖形，如圖1所示：

（2）∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=∠CAB=45°，

∵PD⊥AC，

∴∠PDA=90°，

∴∠DPA=90°﹣∠PAD=45°=∠DAP，

∴AD=DP，

∵點D關于直線AB的對稱點為E，

∴∠FPA=∠DPA=45°，PE=PD，

∴∠DPF=90°，

∴∠DPF+∠D=180°，

∴PF//CD，

又∵EF=AC，

∴EF+PE=AC+AD，

即PF=CD，

∴PFCD，

∴四邊形PDCF是平行四邊形，

又∵∠PDA=90°，

∴四邊形DCFP是矩形，

∴PD=CF，

∴AD=CF；

（3）AQ=，

理由如下：如圖2，連接CQ，

∵∠C=90°，AC=BC=2，

∴AB=2，∠B=∠CAB=45°，

∵AQ=，

∴AQ=BQ，

又∵∠C=90°，AC=BC=2，

∴CQ=AQ=BQ，∠QCA=∠CAQ=45°，

∴∠DAQ=∠QCF=135°，

又∵AD=CF，

∴△DAQ≌△FCQ（SAS），

∴FQ=DQ．