Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD上一點，若△ADE沿直線AE翻折，使點D落在BC邊上點處，F為AD上一點，且，EF與BD相交于點G，與BD相交于點H，，HG=2,則BD=__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先證明出△CE∽△BA，然后得出，進一步再證明△EDF∽△DAB，從而結合題意得出EF⊥BD，然后證明出四邊形HGE是矩形，得出HG=E=DE=2，之后設EC=y，C=x，通過△BH∽△，表示出BD，然后再通過△DFE∽△CE建立方程求出符合題意的y的值，進而計算求出BD即可.

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵∠AE=∠D=90°，

∴∠A+∠E=90°，∠E=90°，

∴∠A，

∴△C,

∴,

∵C=DF，A，，

∴,

∵∠EDF=∠BAD=90°，

∴△EDF∽△DAB，

∴∠FED=∠ADB，

∵∠ADB+∠BDC=90°，

∴∠FED+∠BDC=90°，

∴EF⊥BD，

又∵∥BD，A，

∴BD⊥A,

∴四邊形HGE是矩形，

∴HG=E=DE=2，

設EC=y，C，

易得△EGD≌△，

∴DG=CE=y，EG=C=H，

∵∥BD,

∴∠E,

∵∠C=∠BH，

∴△BH∽△

∴,

∴，

即BH=,

∴BD=BH+GH+DG=,

易得：△DFE∽△CE，

∴

即，

∴，

∵，

∴，

∴或（舍去），

∴BD=.

所以答案為.