Question

【題目】已知，點在射線上，點是射線上的一個動點（不與點重合）．點關于的對稱點為點，連接、和，點在直線上，且滿足．小明在探究圖形運動的過程中發現：始終成立．

（1）如圖1，當時；

①求證：；

②用等式表示線段、與之間的數量關系，并證明；

（2）當時，直接用等式表示線段、與之間的數量關系是______．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；證明見解析；（2）

【解析】

（1）①根據軸對稱的性質得到△ABC≌△ADC，求得∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ACD=45°，根據等腰三角形的性質和四邊形的內角和即可得到結論；

②過A作AP⊥AC交CB的延長線于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，得到∠PAF=∠DAC，根據全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖2，過A作AP⊥AC交CB的延長線于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，得到∠PAF=∠DAC，根據全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質即可得到結論．

（1）①∵點關于的對稱點為點

∴

∴，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

在四邊形中，

∴

②

解：過點作邊的垂線交延長線于點

∴是等腰直角三角形，，

∵

∴

∵

∴

∴

在等腰中，

∴

（2）

當90°＜∠BAC＜135°時，如圖2，

過A作AP⊥AC交CB的延長線于P，

∴△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，

∵∠PAF-∠FAC=∠DAC-∠FAC=90°，

∴∠PAF=∠DAC，

∵∠AFB=∠ADC，

∴△APF≌△ACD（ASA），

∴PF=CD，

∵在等腰直角三角形APC中，PF-CF=PC=AC，

∴CD-CF=AC，

故答案為：CD-CF=AC．