Question

如圖1，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點

P與點C不重合)，連結BP. 將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得

到△A₁B₁P,連結AA₁，射線AA₁分別交射線PB、射線B₁B于點E、F.

（1） 如圖1，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在  ▲  關

系（填“相似”或“全等”），并說明理由；

（2）如圖2，設∠ABP=β . 當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△

AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當α=60°時，點E、F與點B重合. 已知AB=4，設DP=x，△A₁BB₁的面積為

S，求S關于x的函數關系式.

 

Answer 1

解: （1） 相似   ………………………………………………………………1分

由題意得：∠APA₁=∠BPB₁=α  AP= A₁P  BP=B₁P

則  ∠PAA₁ =∠PBB₁ = …………………………………2分

∵∠PBB₁ =∠EBF       ∴∠PAE=∠EBF

又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP……………………………………………………………3分

（2）存在，理由如下： ………………………………………………………………4分

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要滿足BE=AE即可 ………………………5分

∴∠BAE=∠ABE

∵∠BAC=60°       ∴∠BAE=

∵∠ABE=β   ∠BAE=∠ABE    ……………………………………………6分

∴ 即α=2β+60°     ……………………………………………7分

（3）連結BD，交A₁B₁于點G，過點A₁作A₁H⊥AC于點H.

∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60° ∴A₁B₁∥AC

由題意得：AP= A₁ P  ∠A=60°

∴△PAA₁是等邊三角形

∴A₁H= ………………………………………………………………8分

在Rt△ABD中，BD=

∴BG=…………………………………… 9分

∴ （0≤x＜2）……………………10分

解析:略