Question

如圖1，在等邊△ABC中，AD是∠BAC的平分線，一個含有120°角的△MPN的頂點P（∠MPN=120°）與點D重合，一邊與AB垂直于點E，另一邊與AC交于點F．
（1）請猜想并寫出AE+AF與AD之間滿足的數量關系，不必證明．
（2）在圖1的基礎上，若△MPN繞著它的頂點P旋轉，E、F仍然是△MPN的兩邊與AB、AC的交點，當三角形紙板的邊不與AB垂直時，如圖2，（1）中猜想是否仍然成立？說明理由．
（3）如圖3，若△MPN繞著它的頂點P旋轉，當△MPN的一邊與AB的延長線相交，另一邊與AC的反向延長線相交時，AE、AF與AD之間又滿足怎樣的數量關系？直接寫出結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）根據題意利用等邊三角形、角平分線直角三角形、銳角三角函數推理可得出AE+AF=

3

AD；
（2）根據（1）中結論，利用圖1，可推理得出結論仍然成立；
（3）結合（1）（2）可推理出AE-AF=

3

AD．

解答：解：（1）AE+AF=

3

AD，

（2）AE+AF=

3

AD，仍然成立，
證明：過D點作AB、AC的垂線，垂足為Q、W，
可證△DEQ≌△DFW，∴AQ=AW，EQ=FW，
AE+AF=AQ+QE+AW-FW=2AQ=2×

AD

cos30°

=

3

AD，
∴仍然滿足AE+AF=

3

AD，

（3）AE-AF=

3

AD．

點評：本題考查了等邊三角形、角平分線直角三角形、銳角三角函數以及旋轉的規律，難度較大．