Question

（1）畫圖探究：
如圖1，若點A、B在直線m同側(cè)，在直線m上求作一點P，使AP+BP的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法；
（2）實踐運用：
如圖2，在等邊△ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，點P是高AD上一個動點，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，并求此時∠MAN的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）作出A點關(guān)于m的對稱點A′，連接A′B即可得出P點位置；
（2）連接CE，交AD于點P，此時BP+PE最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）分別作出點A關(guān)于CD，BC的對稱點E，F(xiàn)，連接EF分別交CD、BC于點M、N此時△AMN周長最小；再利用三角形內(nèi)角和定理得出即可．

解答：解：（1）如圖1所示：P點即為所求；

（2）如圖2，連接EC，交AD于點P，
此時BP+PE最小，
∵等邊△ABC中，AB=2，點E是AB的中點，
∴CE⊥AB，
∴BE=1，BC=2，
∴EC=

3

，
∴BP+PE的最小值為：

3

；

（3）如圖3：
分別作出點A關(guān)于CD，BC的對稱點E，F(xiàn)，連接EF分別交CD、BC于點M、N此時△AMN周長最小；
∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
∴∠MAN=125°-55°=70°．

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角形內(nèi)角和定理等知識，利用軸對稱得出關(guān)鍵點位置是解題關(guān)鍵．