Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸相交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，點C為拋物線的頂點．點M(0，m)為y軸上的動點，將拋物線繞點M旋轉180°，得到新的拋物線，其中B、C旋轉后的對應點分別記為B'、C'．

（1）若a=1，求原拋物線的函數表達式；

（2）在（1）條件下，當四邊形BCB'C'的面積為40時，求m的值；

（3）探究a滿足什么條件時，存在點M，使得四邊形BCB'C'為菱形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m=4或m=﹣16；（3）a≥時，存在點M，使得四邊形BCB'C'為菱形，理由見解析．

【解析】

（1）根據原拋物線中a=1，并且經過，，即可求出原拋物線的函數表達式；

（2）在（1）條件下，連接、，延長，與軸交于點，證明四邊形是平行四邊形，面積為40，即可求的值；

（3）過點作軸于點，當平行四邊形為菱形時，應有，故點在、之間，當時，，得．由二次函數的頂點為，，，可得，，，，進而列出一元二次方程，根據判別式即可求出滿足的條件．

解：（1）拋物線中a=1，并且經過，，題意得：，

解得，

原拋物線的函數表達式為：；

（2）連接、，延長，與軸交于點，

二次函數的頂點為，

，

，

直線的解析式為：．

，

拋物線繞點旋轉，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，

或；

（3）如圖，過點作軸于點，

當平行四邊形為菱形時，應有，故點在、之間，

當時，，

，

即．

二次函數的頂點為，，，

，，，，

，

，

△，，

．

所以時，存在點，使得四邊形為菱形．