Question

已知二次函數y=﹣x²+bx+c的對稱軸為x=2，且經過原點，直線AC解析式為y=kx+4，
（1）求二次函數解析式；
（2）若=，求k；
（3）若以BC為直徑的圓經過原點，求k．

Answer 1

（1）二次函數解析式:y=﹣x²+4x．
（2）k=﹣1．
（3）k=﹣．

試題分析：（1）根據對稱軸為x==2，且函數過（0，0），則可得出b，c，從而得到函數解析式．
（2）=，而且這兩個三角形為同高不同底的三角形，易得=，考慮計算方便可作B，C對x軸的垂線，進而有B，C橫坐標的比為=．由B，C為直線與二次函數的交點，則聯立可求得B，C坐標．由上述倍數關系，則k易得．
（3）以BC為直徑的圓經過原點，易得∠BOC=90°，由（2）可發現B，C橫縱坐標恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易證△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．由此構造方程即可得k值．
試題解析： （1）∵二次函數y=﹣x²+bx+c的對稱軸為x=2，且經過原點，
∴﹣=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=﹣x²+4x．
（2）如圖1，連接OB，OC，過點B作BE⊥y軸于E，過點C作CF⊥y軸于F，

∵=，
∴=，
∴=，
∵EB//FC，
∴==．
∵y=kx+4交y=﹣x²+4x于B，C，
∴kx+4=﹣x²+4x，即x²+（k﹣4）x+4=0，
∴△=（k﹣4）²﹣4•4=k²﹣8k，
∴x=，或x=，
∵x_B＜x_C，
∴EB=x_B=，FC=x_C=，
∴4•=，
解得 k=9（交點不在y軸右邊，不符題意，舍去）或k=﹣1．
∴k=﹣1．
（3）∵∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴，
∴EB•FC=EO•FO．
∵x_B=，x_C=，且B、C過y=kx+4，
∴y_B=k•+4，y_C=k•+4，
∴EO=y_B=k•+4，OF=﹣y_C=﹣k•﹣4，
∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），
整理得 16k=﹣20，
∴k=﹣．