Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點C旋轉得到矩形FECG，點E在AD上，延長ED交FG于點H．

（1）求證：△EDC≌△HFE；

（2）連接BE、CH．

①四邊形BEHC是怎樣的特殊四邊形？證明你的結論．

②當AB與BC的比值為 時，四邊形BEHC為菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形BEHC為平行四邊形②．

【解析】試題分析：（1）依據題意可得到FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，利用平行線的性質可證明∠FHE=∠CED，然后依據AAS證明△EDC≌△HFE即可；
（2）①由全等三角形的性質可知EH=EC，由旋轉的性質可得到BC=EC，從而可證明EH=BC，最后依據平行四邊形的判定定理進行證明即可；②連接BE．可證明△EBC為等邊三角形，則∠ABE=30°，利用特殊銳角三角函數值可得到AB：BE=：2．

試題解析：（1）∵矩形FECG由矩形ABCD旋轉得到，
∴FE=AB=DC，∠F=∠EDC=90°，FH∥EC，
∴∠FHE=∠CED．
在△EDC和△HFE中，

，
∴△EDC≌△HFE．
（2）①四邊形BEHC為平行四邊形，
∵△EDC≌△HFE，
∴EH=EC．
∵矩形FECG由矩形ABCD旋轉得到，
∴EH=EC=BC，EH∥BC，
∴四邊形BEHC為平行四邊形．
②連接BE．

∵四邊形BEHC為菱形，
∴BE=BC．
由旋轉的性質可知BC=EC．
∴BE=EC=BC．
∴△EBC為等邊三角形．
∴∠EBC=60°．
∴∠ABE=30°．
∴AB：BE=：2．
又∵BE=CB，
∴AB與BC的比值=．