Question

【題目】在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果弧DE（可以是劣弧、優弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內部或邊上，則稱弧DE為△ABC的中內弧．例如，圖1中弧DE是△ABC其中的某一條中內弧．

（1）如圖2，在邊長為4的等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．畫出△ABC的最長的中內弧DE，并直接寫出此時弧DE的長；

（2）在平面直角坐標系中，已知點A（2，6），B（0，0），C（t，0），在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．

①若t＝2，求△ABC的中內弧DE所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；

②請寫出一個t的值，使得△ABC的中內弧DE所在圓的圓心P的縱坐標可以取全體實數值．

Answer 1

【答案】（1）圖詳見解析，；（2）①m≤或m≥3；②t＝4．

【解析】

（1）如圖1中，由垂徑定理可知，圓心O在線段DE的垂直平分線上，當點O是△ABC的內心時，內弧最長，利用弧長公式計算即可．

（2）如圖2中，由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，DE的垂直平分線交DE于F，作DO′交DE的垂直平分線于點O′．

①設O′（，m）由三角形中內弧定義可知，圓心在線段DE上方射線FP上均可，可得m≥3．當O′D⊥OA時，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，可得O′F＝，推出O′（，），根據三角形中內弧的定義可知，圓心在點O′的下方（含點O′）時也符合要求，可得m≤．

②如圖3中，當△AOC是等邊三角形時，內弧DE所在圓的圓心P的縱坐標可以取全體實數值．此時t＝．

解：（1）如圖1中，由垂徑定理可知，圓心O在線段DE的垂直平分線上，

∵△ABC是等邊三角形，

∴當點O是△ABC的內心時，內弧最長，

在Rt△OHC中，

∵CH＝，∠OCH＝30°，

∴OH＝CHtan30°＝2，

∵∠ADE＝∠AEO＝90°，∠DAE＝60°，

∴∠DOE＝120°，

∴的長＝＝．

（2）①如圖2中，

如圖2中，由垂徑定理可知，圓心一定在線段span>DE的垂直平分線上，DE的垂直平分線交DE于F，

①當t＝時，C（，0），A（，6），

∴D（，3），E（，6），F（，3），

設O′（，m）由三角形中內弧定義可知，圓心在線段DE上方射線FP上均可，∴m≥3

∵tan∠AOC＝＝，

∴∠AOC＝60°，

∵DE∥OC，

∴∠ADE＝60°，

當O′D⊥OA時，在Rt△DFO′中，∵DF＝，∠FDO′＝30°，

∴O′F＝，

∴O′（，），

根據三角形中內弧的定義可知，圓心在點O′的下方（含點O′）時也符合要求，

∴m≤，

綜上所述，m≤或m≥3．

②如圖3中，當△AOC是等邊三角形時，內弧DE所在圓的圓心P的縱坐標可以取全體實數值．此時t＝4．