Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣ x﹣9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC．

（1）求AB和OC的長；
（2）點E從點A出發，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D．設AE的長為m，△ADE的面積為s，求s關于m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知：拋物線y= x2﹣ x﹣9；

當x=0時，y=﹣9，則：C（0，﹣9）；

當y=0時， x2﹣ x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，則：A（﹣3，0）、B（6，0）；

∴AB=9，OC=9

（2）解：∵ED∥BC，

∴△AED∽△ABC，

∴ =（ ）2，即： =（ ）2，得：s= m2（0＜m＜9）

（3）解：解法一：∵S△ACE= AEOC= m×9= m，

∴S△CDE=S△ACE﹣S△ADE= m﹣ m2=﹣ （m﹣ ）2+ ．

∵0＜m＜9，

∴當m= 時，S△CDE取得最大值，最大值為 ．此時，BE=AB﹣AE=9﹣ = ．

記⊙E與BC相切于點M，連接EM，則EM⊥BC，設⊙E的半徑為r．

在Rt△BOC中，BC= = =3 ．

∵∠OBC=∠MBE，∠COB=∠EMB=90°．

∴△BO∽△BME，

∴ = ，

∴ = ，

∴r= = ．

∴所求⊙E的面積為：π（ ）2= π．

解法二：∵S△AEC= AEOC= m×9= m，

∴S△CDE=S△AEC﹣S△ADE= m﹣ m2=﹣ （m﹣ ）2+ ．

∵0＜m＜9，

∴當m= 時，S△CDE取得最大值，最大值為 ．此時，BE=AB﹣AE=9﹣ = ．

∴S△EBC= S△ABC= ．

如圖2，記⊙E與BC相切于點M，連接EM，則EM⊥BC，設⊙E的半徑為r．

在Rt△BOC中，BC= = ．

∵S△EBC= BCEM，∴ × r= ，

∴r= = ．

∴所求⊙E的面積為：π（ ）2= π．

【解析】（1）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，進而確定AB、OC的長．（2）直線l∥BC，可得出△AED、△ABC相似，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于s、m的函數關系式；根據題干條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍．（3）①首先用m列出△AEC的面積表達式，△AEC、△AED的面積差即為△CDE的面積，由此可得關于S△CDE、m的函數關系式，根據函數的性質可得到S△CDE的最大面積以及此時m的值；②過E做BC的垂線EM，這個垂線段的長即為與BC相切的⊙E的半徑，可根據相似三角形△BEF、△BCO得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解．