Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x﹣1與拋物線y=﹣ x2+bx+c交于A，B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣8，點P是直線AB上方的拋物線上的一動點（不與點A，B重合）．

（1）求該拋物線的函數關系式；
（2）連接PA、PB，在點P運動過程中，是否存在某一位置，使△PAB恰好是一個以點P為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過P作PD∥y軸交直線AB于點D，以PD為直徑作⊙E，求⊙E在直線AB上截得的線段的最大長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣8，且在直線y= x﹣1，

∴A（2，0），B（﹣8，﹣5），

∵點A，B在拋物線y=﹣ x2+bx+c上，

∴0=﹣1+2b+c，﹣16﹣8b+c=﹣5，

∴b=﹣1，c=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣x+3

（2）

解：假設存在這樣點P，使△PAB恰好是一個直角三角形，

∵△PAB恰好是一個直角三角形，直線y= x﹣1與拋物線y=﹣ x 2+bx+c交于A、B兩點，P為拋物線上的點，

∴只能是∠APB=90°，即AP⊥PB，

∴直線AP和直線PB的斜率乘積等于﹣1，

設P（x，﹣ x 2﹣x+3），而A坐標為（2，0），B坐標為（﹣8，﹣5），

∴ × =﹣1，

∴（x+6）（x﹣4）=﹣16，

解得x=2（舍）或x=﹣4．

∴P（﹣4，3），

∵A（2，0），B（﹣8，﹣5），

∴PA= =3 ，PB= =4 ，

∴PA≠PB，

∴不存在使△PAB恰好是一個以點P為直角頂點的等腰直角三角形

（3）

解：如圖，

∵OA=2，OC=1，

∴AC= ，

∵PD∥OC，

∴∠OCA=∠QDF，

∵∠PFD=∠AOC=90°，

∴△AOC∽△PFD，

∴ = = ，

∴DF= PD，

設D（x， x﹣1），P（x，﹣ x2﹣x+3），

∴PD=﹣ x2﹣x+3﹣ x+1=﹣ x2﹣ x+4，

∴DF=PD= ×（﹣ x2﹣ x+4），

∴當x=﹣3時，DF最大= ×（﹣ ×32+ ×3+4）=

【解析】（1）根據直線y= x﹣1與拋物線y=﹣ x2+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣8，求出點A（2，0），B（﹣8，﹣5）利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）假設存在這樣點P，使△PAB恰好是一個直角三角形，只有∠APB=90°，即AP⊥PB，設出點P的坐標，表示出直線PA，PB的解析式，由直線AP和直線PB的斜率乘積等于﹣1建立方程，則可求得點P的坐標，再利用勾股定理求得PA和PB，進行判斷即可；（3）先判斷出∠OCA=∠QDF進而得出△AOC∽△PFD，得出DF= PD，最后建立DF=PD= ×（﹣ x2﹣ x+4），即可得出結論．