Question

【題目】如圖，點A的坐標為（﹣8，0），點P的坐標為（-，0），直線y=x+b過點A，交y軸于點B，以點P為圓心，以PA為半徑的圓交x軸于點C．

（1）判斷點B是否在⊙P上？說明理由．

（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；并求拋物線與⊙P另外一個交點為D的坐標．

（3）⊙P上是否存在一點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】⑴點B在⊙P上,理由見解析;⑵拋物線的解析式為 ,D

⑶⊙P上不存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形,理由見解析.

【解析】試題分析：（1）通過計算PB與PA是否相等即可做出判斷；

（2）由圓的性質確定出點C的坐標，然后利用待定系數法即可解決；

（3）分AB為菱形的對角線， AB、AP為菱形的鄰邊，AB、BP為菱形的鄰邊， 三種情況進行討論.

試題解析：⑴∵A(－8，0)在直線上，則有b＝6

∴點B（0，6），即OB＝6，

在Rt△BOP中，由勾股定理得PB＝，則PB＝PA，∴點B在⊙P上.

⑵AC＝2PA＝，則OC＝，點C，拋物線過點A、C，則設所求拋物線為，代入點C，則有a＝，

拋物線的解析式為，

直線x＝是拋物線和圓P的對稱軸，點B的對稱點為D，由對稱可得D.

⑶當點Q在⊙P上時，有PQ＝PA＝，

如圖1所示，假設AB為菱形的對角線，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE＝，則2PE≠PQ，所以四邊形APBQ不是菱形.

如圖2所示，假設AB、AP為菱形的鄰邊，則AB≠AP，所以四邊形APQB不是菱形.

如圖3所示，假設 AB、BP為菱形的鄰邊，則AB≠BP，所以四邊形AQPB不是菱形.

圖1 圖2 圖3

綜上所述，⊙P上不存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形.