Question

【題目】已知，如圖拋物線與坐標軸分別交于點，，，點P是線段AB上方的拋物線上的一個動點．

求拋物線的解析式；

過點P作于點Q，當線段PQ的長度最大時，求點P的坐標，和PQ最大值；

過點P作x軸的垂線交線段AB于點M，再過點P作軸交拋物線于點N，請問是否存在點P使為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為；（3）或．

【解析】

（1）根據題意利用待定系數法將點、代入拋物線的頂點式即可求出；

（2）由題意過點P作與點M，交AB于點N，作于點G，并設直線AB解析式為與求出解析式，進而設其中，則，建立關系式并運用配方法求得點P的坐標和PQ最大值；

（3）根據題意可知若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設點P的橫坐標為a，表示出PD、PE的長，列出關于a的方程，解之可得答案．

解：拋物線過點、，

設拋物線解析式為，

將點代入，得：，

解得：，

所以拋物線解析式為；

如圖1，過點P作與點M，交AB于點N，作于點G，

設直線AB解析式為，

將點、代入，得：

解得：

則直線AB解析式為，

設其中，

則，

，

，

，

當時，點P的坐標為，的面積有最大值，最大值為，

，，

，

，

，

，

即，

解得：，

最大值為；

如圖2，

若為等腰直角三角形，

則，

設點P的橫坐標為a，點N的橫坐標為b，

，，

則，

，

，

解得：或，

所以或．