Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點A在x軸上，與y軸的交點B（0，-1），且b=-4ac。

（1）求點A的坐標；

（2）求拋物線的解析式

（3）在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑的圓經過拋物線的頂點A？若不存在請說明理由；若存在，求出點C的坐標，并求出此時圓的圓心點Ｐ的坐標。

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0）；（2）＝－－－１；（3）點C存在，點Ｃ的坐標為（－10，－16）或（－2，0），點Ｐ的坐標為（－5，－ ）或（－1，－ ）．

【解析】試題分析：

（1）把點B（0，-1）代入解析式可解得： ，代入可得，由點A是拋物線頂點，∴其橫坐標為，再由點A在橫軸上得到其坐標為： ；

（2）把點A代入解析式可得： ，結合（1）中得到的可解得，從而可得到解析式為；

（3）如圖，由題意可設符合條件的點C的坐標為，作CD⊥x軸于點D，CF⊥y軸于點F，然后可在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中利用勾股定理把AC2、BC2和AB2分別用含“x”的式子表達出來；由點A在以BC為直徑的圓上，可得∠BAC=90°，從而可由勾股定理建立方程解出“x”的值，就可得到點C的坐標了，最后利用線段的中點坐標公式就可以求出圓心P的坐標.

試題解析：

（１）把B（0，－1）坐標

代入＝＋＋中，得＝－1,

由＝－４，得＝４，

∵A為拋物線的頂點，∴其橫坐標為＝－，

∴＝－２，即點A的坐標為A（－2，0）；

（２）把點A的坐標（－2，0）代入拋物線解析式中，

可得，

把＝4代入上式，得＝－，

∴＝－1，

∴拋物線的解析式為： ＝－－－１；

（３）點C存在．

設符合題意的點Ｃ坐標為，過點C作CD⊥x軸于點D，作CF⊥y軸于點F，則在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中，由勾股定理分別可得： ， ， ∵點A在以BC為直徑的圓上，

∴∠BAC=90°，

∴，

即： =5+，

解得： ，

∴ C的坐標為或；

因為點P是以BC為直徑的圓的圓心，點B的坐標為，

∴由線段中點坐標公式可得：①當點C的坐標為時，點P的坐標為： ；②當點C的坐標為時，點P的坐標為： .