Question

如圖，拋物線經過點A、B兩點，且當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，經過點C的直線與x軸平行．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若D是直線上的一個動點，求使△DAB的周長最小時點D的坐標；

（3）以這條拋物線上的任意一點P為圓心，PO的長為半徑作⊙P，試判斷⊙P與直線的位置關系，并說明理由．

 

Answer 1

⑴，⑵，⑶⊙P與直線相切，見解析

解析:（1）因為當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，

所以．……………………………………………………………1分

把x=-2，y=0；x=4，y=3，代入，得

，解得，

所以這條拋物線的解析式為．……………………………4分

（2）作點A關于直線的對稱點A′，

連接A′B交直線于點D，此時△DAB的周長最小．……………………5分

設直線A′B的解析式為，

把x=-2，y=-4；x=4，y=3，代入，得

，解得，

所以直線A′B的解析式為，……………………………………7分

點D的坐標．…………………………………………………………8分

（3）⊙P與直線相切．…………………………………………………………9分

設拋物線上任意一點P的坐標為，則

PO=，

點P到直線的距離，…………………………11分

所以點P到直線的距離=⊙P的半徑PO，

所以⊙P與直線相切．…………………………………………………………12分

（1）用代入法解出拋物線的解析式；

（2）利用周長最小的性質得拋物線的解析式；

（3）利用勾股定理解得。