Question

如圖①，拋物線經過點A（12，0）、B（-4，0）、C（0，-12）．頂點為M，過點A的直線y=kx-4交y軸于點N．
（1）求該拋物線的函數關系式和對稱軸；
（2）試判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（3）將AN所在的直線l向上平移．平移后的直線l與x軸和y軸分別交于點D、E（如圖②）．當直線l平移時（包括l與直線AN重合），在拋物線對稱軸上是否存在點P，使得△PDE是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）題是典型的待定系數法求二次函數解析式，利用待定系數法很容易求解；
（2）題要想證明等腰直角三角形，需要證明等腰，需要證明直角，而證明等腰三角形和證明直角均需要利用坐標求出MN和AN長，并利用勾股定理逆定理（或全等）完成證明；
（3）易求得直線AN的解析式，由于直線l與直線AN平行，可根據直線AN的斜率設出直線l的解析式，根據解析式可得OD=3OE；然后分兩種情況考慮：
①點E是直角頂點，1）很顯然點M符合點P的要求；
2）過P作PQ⊥y軸于Q，由于△PDE是等腰直角三角形，易證得Rt△ODE≌Rt△QEP，可得到OE=PQ=4，而OD=3OE，即可得到OD的長，也就得到了EQ、OQ的長，進而可求得點P的坐標；
②點D是直角頂點，可設拋物線對稱軸與x軸的交點為K，解法與（3）①相同．

解答：解：（1）設拋物線的函數關系式為y=ax²+bx+c；
∵拋物線過點C（0，-12），
∴c=-12；（1分）
又∵它過點A（12，0）和點B（-4，0），
∴

144a+12b-12=0 16a-4b-12=0

，
解得

a= 1 4 b=-2

；
∴拋物線的函數關系式為y=

1

4

x²-2x-12，（3分）
拋物線的對稱軸為x=4．（5分）

（2）解法一：
∵在y=kx-4中，當x=0時，y=-4，
∴y=kx-4與y軸的交點N（0，-4）；（6分）
∵y=

1

4

x²-2x-12=

1

4

（x-4）²-16，
∴頂點M（4，-16）；（7分）
∵AM²=（12-4）²+16²=320，
AN²=12²+4²=160，
MN²=4²+（16-4）²=160，
∴AN²+MN²=160+160=320=AM²，
AN=MN；（9分）
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）
解法二：
過點M作MF⊥y軸于點F，則有
MF=4，NF=16-4=12，OA=12，ON=4；（6分）
∴MF=ON，NF=OA，（7分）
又∵∠AON=∠MFN=90°，
∴△AON≌△NFM；（8分）
∴∠MNF=∠NAO，AN=MN；（9分）
∵∠NAO+∠ANO=90°，即∠MNF+∠ANO=90°，
∴∠MNA=90；
∴△AMN是等腰直角三角形．（10分）

（3）存在，點P的坐標分別為：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）（14分）
參考解答如下：
∵y=kx-4過點A（12，0），
∴k=

1

3

；
直線l與y=

1

3

x-4平行，
設直線l的解析式為y=

1

3

x+b；
則它與x軸的交點D（-3b，0），與y軸交點E（0，b）；
∴OD=3OE；
設對稱軸與x軸的交點為K；
（Ⅰ）以點E為直角頂點如圖；
①根據題意，點M（4，-16）符合要求；
②過P作PQ⊥y軸，
當△PDE為等腰直角三角形時，
有Rt△ODE≌Rt△QEP，
∴OE=PQ=4，QE=OD；
∵在Rt△ODE中，OD=3OE，
∴OD=12，QE=12，
∴OQ=8，
∴點P的坐標為（4，-8）；
（Ⅱ）以點D為直角頂點；
同理在圖①中得到P（4，6），
在圖②中可得P（4，-3）；
綜上所得：滿足條件的P的坐標為：
（4，-16），（4，-8），（4，-3），（4，6）．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、等腰直角三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等重要知識，同時還考查了分類討論的數學思想，綜合性強，難度較大．