Question

（2013•高要市二模）已知：如圖，拋物線經過點O、A、B三點，四邊形OABC是直角梯形，其中點A在x軸上，點C在y軸上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求拋物線所對應的函數關系式；
（2）D為OA的中點，動點P自A點出發沿A→B→C→O的路線移動，若線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分，求此時P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax（x-12）+（a≠0），把A（12，0）、B（4，8）、C（0，0）三點代入即可求出a的值，進而得出該拋物線的解析式；
（2）過點B作BF⊥x軸于點F，先求出COAB的面積，由于點P的位置不能確定，故應分兩種情況進行討論：①當點P在AB上時，設點P的坐標為（x，y），由②當點P在OC上時，設點P的坐標為（0，y）求出滿足題意的x和y的值即可得到P的坐標．

解答：（1）解：∵拋物線經過O（0，0）、A（12，0）、B（4，8），
∴設拋物線的解析式為：y=ax（x-12）…（1分）
∴將點B的坐標代入，得：8=4a（4-6），解得：a=-

1

4

，
∴所求拋物線的關系式為：y=-

1

4

x(x-12)=-

1

4

x2+3x；

（2）解：過點B作BF⊥x軸于點F，
∵BF=8，AF=12-4=8
∴∠BAF=45°
∴S_梯形OABC=

1

2

(4+12)×8=64，
∴面積分成1﹕3兩部分，即面積分成16：48，
由題意得，動點P整個運動過程分三種情況，當點P在BC上時，
由于∵S_△ABD=

1

2

×6×8=24 ＞ 16
∴點P在BC上不能滿足要求．
①點P在AB上，設P（x，y）
由S_△APD=16，得

1

2

×AD×y=

1

2

×6×y=16
∴y=

16

3

…（6分）
過P作PE⊥x軸于點E，由∠BAF=45°
∴AE=PE=

16

3

，
∴x=12-

16

3

=

20

3

，
P(

20

3

，

16

3

)滿足要求．   
②點P在OC上，設P（0，y）．
∵S_△APD=

1

2

×AD×y=

1

2

×6×y=16
∴y=

16

3

，
∴P(0，

16

3

)滿足要求．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，此題涉及到用待定系數法求二次函數的解析式、梯形的面積公式及三角形的面積公式，根據題意作出輔助線，構造出三角形及梯形的高是解答此題的關鍵．