Question

已知：如圖1，點O為正方形ABCD內任一點，連接AO、BO，分別以AO、BO為一邊作如圖所示正方形BOMN和正方形AOFE，連接CN
（1）AE、CN之間有怎樣的關系？請驗證；
（2）若點O是正方形ABCD外部一點，如圖2，其他條件不變（1）的結論是否成立？請驗證．

Answer 1

證明：（1）AE=CN，AE∥CN，理由為：
連接ED、AN、EC，如圖1所示，
∵正方形ABCD、AOFE，
∴∠DAB=∠EAO=90°，AO=AF，AD=AB，
∴∠EAD+∠DAO=90°，∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠EAD=∠OAB，
在△AED和△ABO中，

AE=AO ∠EAD=∠ABO AD=AB

，
∴△AED≌△ABO（SAS），
∴ED=BO，
∵BO=BN，
∴ED=BN，
同理AE=CN，
∵△AED≌△CBN，
∴∠ADE=∠CBN，
∴∠ADE+90°=∠CBN+90°，即∠EDC=∠ABN，
在△EDC和△ABN中，

DC=AB ∠EDC=∠ABN ED=BN

，
∴△EDC≌△ABN（SAS），
∴EC=AN，
∴四邊形AECN是平行四邊形，
∴AE=CN，AE∥CN；
（2）結論不變，AE=CN，AE∥CN，
證明：連接ED、AN、EC，如圖2所示，
同上問證明△AED≌△CBN≌△AOB，
∴AE=CN，△EDC≌△ABN，
∴AN=EC，
∴四邊形AECN是平行四邊形，
∴AE=CN，AE∥CN．