Question

在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

Answer 1

（1）
（2）存在點，使△ACP的面積最大
（3）存在點Q，坐標為：，

試題分析：26．解：（1）由拋物線過點A（－3，0），B（1，0），
則　…………………………………………………………1分
解得 　………………………………………………………………2分
∴二次函數的關系解析式．…………………………3分
（2）連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．…4分

設點P坐標為（m，n），則．
PM =，，AO=3．（5分）
當時，＝２．
∴OC=2．……………………………………………………………6分
＝
＝＝．8分
∵＝－１＜0，∴當時，函數有最大值．
此時＝． …………9分
∴存在點，使△ACP的面積最大．   ……………………………10分                  
（3）存在點Q，坐標為：，．　　　………………………12分
分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三種情況討論可得出．
點評：此題難度比較適中，把二次函數的性質與圖形的面積的求法相似結合，此題是區別學生程度的題目，成績較好學生可以在平時練習中加強。