Question

【題目】已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，點D在⊙O上，連接AD，BD，CD．

（1）如圖1，若AD經過圓心O，求BD，CD的長；

（2）如圖2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的長．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CD＝6；（2）BD= ;CD=.

【解析】

（1）由AD經過圓心O，利用圓周角定理得∠ACD＝∠ABD＝90°，又因為AB⊥AC，且AB＝AC＝6，證得四邊形ABCD為正方形，即可得出結果；

（2）連接OC，OB，OD，由∠BAD＝2∠DAC，AB⊥AC，由圓周角定理得BC為直徑，可得∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，BO＝CO＝DO＝BC＝3，由圓周角定理得∠COD＝60°，∠BOD＝120°，△COD為等邊三角形，求得CD，BD．

解：（1）∵AD經過圓心O，

∴∠ACD＝∠ABD＝90°，

∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，

∴四邊形ABCD為正方形，

∴BD＝CD＝AB＝AC＝6；

（2）連接OC，OB，OD，過O點作OE⊥BD垂足為E，

∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，

∴BC為直徑，

∴BC＝6，

∴BO＝CO＝DO＝BC＝3，

∵∠BAD＝2∠DAC，

∴∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，

∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，

∴△COD為等邊三角形，∠BOE＝60°，

∴CD＝CO＝DO＝3，

在直角三角形CDB中，BD＝CD＝3，

則BE＝，

∵OE⊥BD，

∴BD＝2BE＝3．