Question

【題目】如圖，菱形中，對角線，相交于點，且，，動點，分別從點，同時出發，運動速度均為，點沿運動，到點停止，點沿運動，到點停止后繼續運動，到點停止，連接，，．設的面積為（這里規定：線段是面積的幾何圖形），點的運動時間為．

如圖，菱形中，對角線，相交于點，且，，動點，分別從點，同時出發，運動速度均為，點沿運動，到點停止，點沿運動，到點停止后繼續運動，到點停止，連接，，．設的面積為（這里規定：線段是面積的幾何圖形），點的運動時間為．

填空：________，與之間的距離為________；

當時，求與之間的函數解析式；

直接寫出在整個運動過程中，使與菱形一邊平行的所有的值．

Answer 1

【答案】（1）5；

【解析】

（1）根據勾股定理即可求得AB，根據面積公式求得AB與CD之間的距離．

（2）當4≤x≤10時，運動過程分為三個階段，需要分類討論，避免漏解：

①當4≤x≤5時，如答圖1-1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上；

②當5＜x≤9時，如答圖1-2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上；

③當9＜x≤10時，如答圖1-3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．

（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計算：

①若PQ∥CD，如答圖2-1所示；

②若PQ∥BC，如答圖2-2所示．

解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，

∴AC⊥BD，

∴AB===5，

設AB與CD間的距離為h，

∴△ABC的面積S=ABh，

又∵△ABC的面積S=S菱形ABCD=×ACBD=×6×8=12，

∴ABh=12，

∴h==．

（2）設∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ= ，cosθ=．

①當4≤x≤5時，如答圖1-1所示，此時點Q與點O重合，點P在線段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC-PB=5-x．

過點P作PH⊥AC于點H，則PH=PCcosθ=（5-x）．

∴y=S△APQ=QAPH=×3×（5-x）=-x+6；

②當5＜x≤9時，如答圖1-2所示，此時點Q在線段OB上，點P在線段CD上．

PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．

過點P作PH⊥BD于點H，則PH=PDsinθ=（10-x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD-S△ABQ-S四邊形BCPQ-S△APD

=S菱形ABCD-S△ABQ-（S△BCD-S△PQD）-S△APD

= ACBD-BQOA-（BDOC-QDPH）-PD×h

=×6×8-（9-x）×3-[×8×3-（x-1）（10-x）]- （10-x）×

=-x2+x-；

③當9＜x≤10時，如答圖1-3所示，此時點Q與點B重合，點P在線段CD上．

y=S△APQ=AB×h=×5×=12．

綜上所述，當4≤x≤10時，y與x之間的函數解析式為：

y=．

（3）有兩種情況：

①若PQ∥CD，如答圖2-1所示．

此時BP=QD=x，則BQ=8-x．

∵PQ∥CD，

∴＝，

即＝，

∴x=；

②若PQ∥BC，如答圖2-2所示．

此時PD=10-x，QD=x-1．

∵PQ∥BC，

∴＝，

即＝，

∴x=．

綜上所述，滿足條件的x的值為或．