Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點，與y軸交于點C，點P是線段AB上一動點（端點除外），過點P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）當動點P運動到何處時，BP²=BD•BC；
（3）當△PCD的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

（1）；（2）（，0）；（3）（1，0）

試題分析：（1）由拋物線y=ax²+bx﹣4過點A（4，0）、B（﹣2，0）根據待定系數法求解即可；
（2）設點P運動到點（x，0）時，有BP²=BD•BC，在中，令x=0時，則y=﹣4，即可求得點C的坐標，由PD∥AC可得△BPD∽△BAC，再根據相似三角形的性質求解即可；
（3）由△BPD∽△BAC，根據相似三角形的性質及二次函數的性質求解即可.
（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣4與x軸交于A（4，0）、B（﹣2，0）兩點
∴，解得
∴拋物線的解析式為；
（2）設點P運動到點（x，0）時，有BP²=BD•BC，
在中，令x=0時，則y=﹣4
∴點C的坐標為（0，﹣4）
∵PD∥AC
∴△BPD∽△BAC
∴
∵，AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2
∴，即 
∵BP²=BD•BC，
∴，解得x₁=，x₂=﹣2（不合題意，舍去）
∴點P的坐標是（，0）
∴當點P運動到（，0）時，BP²=BD•BC；
（3）∵△BPD∽△BAC，
∴
∴，
又∵，
∴
∵＜0，∴當x=1時，S_△BPC有最大值為3
∴點P的坐標為（1，0）時，△PDC的面積最大。
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.