Question

如圖，點(diǎn)P是直線：上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．

（1）若直線的解析式為，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，），當(dāng)PA＝AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
②試證明：對(duì)于直線上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA＝AB成立．
（3）設(shè)直線交軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）A（，），B（1，1）；（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；②過點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.設(shè)P（，），A（，），由PA＝PB可證得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，則B（，），將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線，得，根據(jù)△的值始終大于0即可作出判斷；（3）（，）．

試題分析：（1）由題意聯(lián)立方程組即可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征結(jié)合PA＝AB即可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.設(shè)P（，），A（，），由PA＝PB可證得△PAG≌△BAH，即得AG＝AH，PG＝BH，則B（，），將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線，得，根據(jù)△的值始終大于0即可作出判斷；
（3）設(shè)直線：交y軸于D，設(shè)A（，），B（，）．過A、B兩點(diǎn)分別作AG、BH垂直軸于G、H．由△AOB的外心在AB上可得∠AOB＝90°，由△AGO∽△OHB，得，則，聯(lián)立得，依題意得、是方程的兩根，即可求得b的值，設(shè)P（，），過點(diǎn)P作PQ⊥軸于Q，在Rt△PDQ中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.
（1）依題意，得解得， 
∴A（，），B（1，1）；
（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）；
②過點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.
設(shè)P（，），A（，），
∵PA＝PB，
∴△PAG≌△BAH，
∴AG＝AH，PG＝BH，
∴B（，），
將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線，得，
∵△＝
∴無論為何值時(shí)，關(guān)于的方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即對(duì)于任意給定的點(diǎn)P，拋物線上總能找到兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A；
（3）設(shè)直線：交y軸于D，設(shè)A（，），B（，）．
過A、B兩點(diǎn)分別作AG、BH垂直軸于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，
∴∠AOB＝90°，
由△AGO∽△OHB，得，
∴．
聯(lián)立得，
依題意得、是方程的兩根，
∴，
∴，即D（0，1）．
∵∠BPC＝∠OCP，
∴DP＝DC＝3．
設(shè)P（，），過點(diǎn)P作PQ⊥軸于Q，

在Rt△PDQ中，，
∴．
解得（舍去），，
∴P（，）．
∵PN平分∠MNQ，
∴PT＝NT，
∴.
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.