Question

某市要在一塊矩形的空地上建造一個四邊形花園，要求花園所占面積是矩形面積的一半，并且四邊形花園的四個頂點作為出入口，要求分別在矩形的四條邊上，請你設計兩種方案：
方案1：如圖1所示，兩個出入口E、F已確定，請在圖1上畫出符合要求的四邊形花園，并簡要說明畫法；
方案2：如圖2所示，一個出入口M已確定，請在圖2上畫出符合條件的平行四邊形花園，并簡要說明畫法．

Answer 1

分析：（1）在AD上截取AG=BE，連接EG，則EG把矩形ABCD分成兩個矩形，在AB上任取一點H，順次連接E、F、G、H四點即可得到符合要求的四邊形；
（2）在AD上截取DP=BM，連接MP，再作出MP的中點O，過O通過作角相等作ON∥BC交CD于點N，交AB于點Q，則順次連接M、N、P、Q即可得到符合要求的平行四邊形．

解答：解：（1）如圖，作法：①在AD，BC上截取AG=BE，連接EG，
②在AB上任取一點H，
③連接EF，FG，GH，HE，得到四邊形EFGH，
所以四邊形EFGH就是所要求作的四邊形．
理由：因為ABCD是矩形，EG把矩形ABCD分成矩形ABEG與矩形ECDG，
則S_△EFG=

1

2

S_矩形ECDG，S_△EGH=

1

2

S_矩形ABEG，
∴S_{四邊形EFGH}=

1

2

S_{四邊形ABCD}；

（2）畫法：①在AD，BC上截取AP=CM，連接MP，
②作MP的垂直平分線，得到MP的中點O，
③作∠PON=∠PMC交CD于點N，反向延長ON，交AB于點Q，連接MN、MP、PQ、QM，得到四邊形MNPQ，
所以四邊形MNPQ就是所要求作的平行四邊形．
理由如下：∵∠PON=∠PMC，
∴QN∥BC，
∵點O是MP的中點，
∴點Q、點N分別是AB、CD的中點，
∴OQ=

1

2

（BM+AP）=

1

2

AD，NO=

1

2

（MC+DP）=

1

2

BC，
∴OQ=NO，
∴四邊形MNPQ是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
因為ABCD是矩形，QN把矩形ABCD分成矩形AQND與矩形BCNQ，
則S_△PQM=

1

2

S_矩形AQND，S_△EQMN=

1

2

S_矩形BCNQ，
∴S_{四邊形MNPQ}=

1

2

S_{四邊形ABCD}．

點評：本題考查了應用與設計作圖，主要利用矩形的面積等于以矩形的一邊為底邊，另一頂點在對邊上的三角形的面積等于矩形的面積的一半的性質，靈活性較強，難度不大．